Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17828 / 15762
↖ ↑ ↗
← N  6.817353°
E 15.864258°		 ← 1 213 m → N  6.817353°
E 15.875244°		 →
↑
1 212.97 m
↓
↑
1 212.97 m
↓
N  6.806444°
E 15.864258°		 ← 1 213.03 m →
1 471 357 m²		 N  6.806444°
E 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544082641601562 y=0.481033325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544082641601562 × 215)
    floor (0.544082641601562 × 32768)
    floor (17828.5)     		tx = 17828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481033325195312 × 215)
    floor (0.481033325195312 × 32768)
    floor (15762.5)     		ty = 15762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17828 / 15762 ti = "15/17828/15762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17828/15762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17828 ÷ 215
    17828 ÷ 32768     		x = 0.5440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15762 ÷ 215
    15762 ÷ 32768     		y = 0.48101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5440673828125 × 2 - 1) × π
    0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48101806640625 × 2 - 1) × π
    0.0379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.1192670062547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27688353} λ = 0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.1192670062547))-π/2
    2×atan(1.12667070625599)-π/2
    2×0.844890789908199-π/2
    1.6897815798164-1.57079632675     		φ = 0.11898525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11898525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.817353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17828 KachelY 15762 0.27688353 0.11898525 15.864258 6.817353
    Oben rechts KachelX + 1 17829 KachelY 15762 0.27707528 0.11898525 15.875244 6.817353
    Unten links KachelX 17828 KachelY + 1 15763 0.27688353 0.11879486 15.864258 6.806444
    Unten rechts KachelX + 1 17829 KachelY + 1 15763 0.27707528 0.11879486 15.875244 6.806444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11898525-0.11879486) × R
    0.000190389999999999 × 6371000     		dl = 1212.97468999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11898525-0.11879486) × R
    0.000190389999999999 × 6371000     		dr = 1212.97468999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27688353-0.27707528) × cos(0.11898525) × R
    0.000191749999999991 × 0.992929602639164 × 6371000     		do = 1213.00177507085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27688353-0.27707528) × cos(0.11879486) × R
    0.000191749999999991 × 0.992952184829547 × 6371000     		du = 1213.02936236097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11898525)-sin(0.11879486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992929602639164-0.992952184829547)×R²
    abs(0.27707528-0.27688353)×2.25821903830914e-05×R²
    0.000191749999999991×2.25821903830914e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.25821903830914e-05×40589641000000     		ar = 1471357.18787289m²