Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17827 / 51874
↖ ↑ ↗
← S 71.804841°
W 82.073364°		 ← 190.72 m → S 71.804841°
W 82.067871°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
S 71.806556°
W 82.073364°		 ← 190.70 m →
36 366 m²		 S 71.806556°
W 82.067871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272026062011719 y=0.791542053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272026062011719 × 216)
    floor (0.272026062011719 × 65536)
    floor (17827.5)     		tx = 17827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791542053222656 × 216)
    floor (0.791542053222656 × 65536)
    floor (51874.5)     		ty = 51874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17827 / 51874 ti = "16/17827/51874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17827/51874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17827 ÷ 216
    17827 ÷ 65536     		x = 0.272018432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51874 ÷ 216
    51874 ÷ 65536     		y = 0.791534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272018432617188 × 2 - 1) × π
    -0.455963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43245043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.58306884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.83176480828159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43245043} λ = -1.43245043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83176480828159))-π/2
    2×atan(0.160130718243295)-π/2
    2×0.158782714972012-π/2
    0.317565429944024-1.57079632675     		φ = -1.25323090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43245043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.073364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25323090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.804841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17827 KachelY 51874 -1.43245043 -1.25323090 -82.073364 -71.804841
    Oben rechts KachelX + 1 17828 KachelY 51874 -1.43235456 -1.25323090 -82.067871 -71.804841
    Unten links KachelX 17827 KachelY + 1 51875 -1.43245043 -1.25326083 -82.073364 -71.806556
    Unten rechts KachelX + 1 17828 KachelY + 1 51875 -1.43235456 -1.25326083 -82.067871 -71.806556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25323090--1.25326083) × R
    2.99300000001779e-05 × 6371000     		dl = 190.684030001133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25323090--1.25326083) × R
    2.99300000001779e-05 × 6371000     		dr = 190.684030001133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43245043--1.43235456) × cos(-1.25323090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312254647544227 × 6371000     		do = 190.72131984567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43245043--1.43235456) × cos(-1.25326083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312226213951077 × 6371000     		du = 190.703952954717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25323090)-sin(-1.25326083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312254647544227-0.312226213951077)×R²
    abs(-1.43235456--1.43245043)×2.8433593150301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8433593150301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8433593150301e-05×40589641000000     		ar = 36365.8540834576m²