Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17827 / 18979
↖ ↑ ↗
← S 27.401032°
E 15.853271°		 ← 1 084.58 m → S 27.401032°
E 15.864258°		 →
↑
1 084.54 m
↓
↑
1 084.54 m
↓
S 27.410786°
E 15.853271°		 ← 1 084.48 m →
1 176 213 m²		 S 27.410786°
E 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544052124023438 y=0.579208374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544052124023438 × 215)
    floor (0.544052124023438 × 32768)
    floor (17827.5)     		tx = 17827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579208374023438 × 215)
    floor (0.579208374023438 × 32768)
    floor (18979.5)     		ty = 18979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17827 / 18979 ti = "15/17827/18979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17827/18979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17827 ÷ 215
    17827 ÷ 32768     		x = 0.544036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18979 ÷ 215
    18979 ÷ 32768     		y = 0.579193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544036865234375 × 2 - 1) × π
    0.08807373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27669178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.15838623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.497585018056183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27669178} λ = 0.27669178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497585018056183))-π/2
    2×atan(0.607997190414042)-π/2
    2×0.54627904655256-π/2
    1.09255809310512-1.57079632675     		φ = -0.47823823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27669178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.853271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47823823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.401032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17827 KachelY 18979 0.27669178 -0.47823823 15.853271 -27.401032
    Oben rechts KachelX + 1 17828 KachelY 18979 0.27688353 -0.47823823 15.864258 -27.401032
    Unten links KachelX 17827 KachelY + 1 18980 0.27669178 -0.47840846 15.853271 -27.410786
    Unten rechts KachelX + 1 17828 KachelY + 1 18980 0.27688353 -0.47840846 15.864258 -27.410786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47823823--0.47840846) × R
    0.000170229999999993 × 6371000     		dl = 1084.53532999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47823823--0.47840846) × R
    0.000170229999999993 × 6371000     		dr = 1084.53532999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27669178-0.27688353) × cos(-0.47823823) × R
    0.000191749999999991 × 0.887807094514588 × 6371000     		do = 1084.57999308743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27669178-0.27688353) × cos(-0.47840846) × R
    0.000191749999999991 × 0.887728739119416 × 6371000     		du = 1084.48427106124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47823823)-sin(-0.47840846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887807094514588-0.887728739119416)×R²
    abs(0.27688353-0.27669178)×7.83553951724247e-05×R²
    0.000191749999999991×7.83553951724247e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.83553951724247e-05×40589641000000     		ar = 1176213.41659545m²