Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17826 / 52386
↖ ↑ ↗
← S 72.662863°
W 82.078858°		 ← 182.03 m → S 72.662863°
W 82.073364°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
S 72.664500°
W 82.078858°		 ← 182.01 m →
33 131 m²		 S 72.664500°
W 82.073364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272010803222656 y=0.799354553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272010803222656 × 216)
    floor (0.272010803222656 × 65536)
    floor (17826.5)     		tx = 17826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799354553222656 × 216)
    floor (0.799354553222656 × 65536)
    floor (52386.5)     		ty = 52386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17826 / 52386 ti = "16/17826/52386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17826/52386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17826 ÷ 216
    17826 ÷ 65536     		x = 0.272003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52386 ÷ 216
    52386 ÷ 65536     		y = 0.799346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.45599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43254631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799346923828125 × 2 - 1) × π
    -0.59869384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88085219349252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43254631} λ = -1.43254631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88085219349252))-π/2
    2×atan(0.152460124854041)-π/2
    2×0.151295065044272-π/2
    0.302590130088545-1.57079632675     		φ = -1.26820620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43254631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.078858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26820620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.662863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17826 KachelY 52386 -1.43254631 -1.26820620 -82.078858 -72.662863
    Oben rechts KachelX + 1 17827 KachelY 52386 -1.43245043 -1.26820620 -82.073364 -72.662863
    Unten links KachelX 17826 KachelY + 1 52387 -1.43254631 -1.26823477 -82.078858 -72.664500
    Unten rechts KachelX + 1 17827 KachelY + 1 52387 -1.43245043 -1.26823477 -82.073364 -72.664500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26820620--1.26823477) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26820620--1.26823477) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43254631--1.43245043) × cos(-1.26820620) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.297993655247182 × 6371000     		do = 182.029865338232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43254631--1.43245043) × cos(-1.26823477) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.297966383122076 × 6371000     		du = 182.013206120248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26820620)-sin(-1.26823477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297993655247182-0.297966383122076)×R²
    abs(-1.43245043--1.43254631)×2.72721251063368e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.72721251063368e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.72721251063368e-05×40589641000000     		ar = 33131.4634645263m²