Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17826 / 15730
↖ ↑ ↗
← N  7.166301°
E 15.842285°		 ← 1 212.03 m → N  7.166301°
E 15.853271°		 →
↑
1 212.15 m
↓
↑
1 212.15 m
↓
N  7.155399°
E 15.842285°		 ← 1 212.06 m →
1 469 179 m²		 N  7.155399°
E 15.853271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544021606445312 y=0.480056762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544021606445312 × 215)
    floor (0.544021606445312 × 32768)
    floor (17826.5)     		tx = 17826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480056762695312 × 215)
    floor (0.480056762695312 × 32768)
    floor (15730.5)     		ty = 15730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17826 / 15730 ti = "15/17826/15730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17826/15730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17826 ÷ 215
    17826 ÷ 32768     		x = 0.54400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15730 ÷ 215
    15730 ÷ 32768     		y = 0.48004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54400634765625 × 2 - 1) × π
    0.0880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27650004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48004150390625 × 2 - 1) × π
    0.0399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.125402929406067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27650004} λ = 0.27650004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125402929406067))-π/2
    2×atan(1.13360512389688)-π/2
    2×0.847935931821239-π/2
    1.69587186364248-1.57079632675     		φ = 0.12507554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27650004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.842285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12507554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.166301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17826 KachelY 15730 0.27650004 0.12507554 15.842285 7.166301
    Oben rechts KachelX + 1 17827 KachelY 15730 0.27669178 0.12507554 15.853271 7.166301
    Unten links KachelX 17826 KachelY + 1 15731 0.27650004 0.12488528 15.842285 7.155399
    Unten rechts KachelX + 1 17827 KachelY + 1 15731 0.27669178 0.12488528 15.853271 7.155399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12507554-0.12488528) × R
    0.000190260000000012 × 6371000     		dl = 1212.14646000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12507554-0.12488528) × R
    0.000190260000000012 × 6371000     		dr = 1212.14646000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27650004-0.27669178) × cos(0.12507554) × R
    0.000191739999999996 × 0.992188246469094 × 6371000     		do = 1212.03289296211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27650004-0.27669178) × cos(0.12488528) × R
    0.000191739999999996 × 0.992211963385714 × 6371000     		du = 1212.06186496734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12507554)-sin(0.12488528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992188246469094-0.992211963385714)×R²
    abs(0.27669178-0.27650004)×2.37169166209528e-05×R²
    0.000191739999999996×2.37169166209528e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.37169166209528e-05×40589641000000     		ar = 1469178.94419627m²