Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17823 / 15723
↖ ↑ ↗
← N  7.242597°
E 15.809326°		 ← 1 211.89 m → N  7.242597°
E 15.820312°		 →
↑
1 211.89 m
↓
↑
1 211.89 m
↓
N  7.231699°
E 15.809326°		 ← 1 211.92 m →
1 468 700 m²		 N  7.231699°
E 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543930053710938 y=0.479843139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543930053710938 × 215)
    floor (0.543930053710938 × 32768)
    floor (17823.5)     		tx = 17823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479843139648438 × 215)
    floor (0.479843139648438 × 32768)
    floor (15723.5)     		ty = 15723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17823 / 15723 ti = "15/17823/15723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17823/15723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17823 ÷ 215
    17823 ÷ 32768     		x = 0.543914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15723 ÷ 215
    15723 ÷ 32768     		y = 0.479827880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543914794921875 × 2 - 1) × π
    0.08782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27592479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479827880859375 × 2 - 1) × π
    0.04034423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.126745162595428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27592479} λ = 0.27592479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.126745162595428))-π/2
    2×atan(1.13512770792062)-π/2
    2×0.848601749877057-π/2
    1.69720349975411-1.57079632675     		φ = 0.12640717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27592479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.809326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12640717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.242597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17823 KachelY 15723 0.27592479 0.12640717 15.809326 7.242597
    Oben rechts KachelX + 1 17824 KachelY 15723 0.27611654 0.12640717 15.820312 7.242597
    Unten links KachelX 17823 KachelY + 1 15724 0.27592479 0.12621695 15.809326 7.231699
    Unten rechts KachelX + 1 17824 KachelY + 1 15724 0.27611654 0.12621695 15.820312 7.231699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12640717-0.12621695) × R
    0.000190220000000019 × 6371000     		dl = 1211.89162000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12640717-0.12621695) × R
    0.000190220000000019 × 6371000     		dr = 1211.89162000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27592479-0.27611654) × cos(0.12640717) × R
    0.000191750000000046 × 0.992021246403914 × 6371000     		do = 1211.89209144123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27592479-0.27611654) × cos(0.12621695) × R
    0.000191750000000046 × 0.992045209643925 × 6371000     		du = 1211.92136587579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12640717)-sin(0.12621695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992021246403914-0.992045209643925)×R²
    abs(0.27611654-0.27592479)×2.39632400106382e-05×R²
    0.000191750000000046×2.39632400106382e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.39632400106382e-05×40589641000000     		ar = 1468699.61311161m²