Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17822 / 15724
↖ ↑ ↗
← N  7.231699°
E 15.798340°		 ← 1 211.86 m → N  7.231699°
E 15.809326°		 →
↑
1 211.89 m
↓
↑
1 211.89 m
↓
N  7.220800°
E 15.798340°		 ← 1 211.89 m →
1 468 658 m²		 N  7.220800°
E 15.809326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543899536132812 y=0.479873657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543899536132812 × 215)
    floor (0.543899536132812 × 32768)
    floor (17822.5)     		tx = 17822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479873657226562 × 215)
    floor (0.479873657226562 × 32768)
    floor (15724.5)     		ty = 15724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17822 / 15724 ti = "15/17822/15724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17822/15724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17822 ÷ 215
    17822 ÷ 32768     		x = 0.54388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15724 ÷ 215
    15724 ÷ 32768     		y = 0.4798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54388427734375 × 2 - 1) × π
    0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4798583984375 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.126553414996948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27573305} λ = 0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.126553414996948))-π/2
    2×atan(1.13491007077503)-π/2
    2×0.848506639882268-π/2
    1.69701327976454-1.57079632675     		φ = 0.12621695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12621695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.231699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17822 KachelY 15724 0.27573305 0.12621695 15.798340 7.231699
    Oben rechts KachelX + 1 17823 KachelY 15724 0.27592479 0.12621695 15.809326 7.231699
    Unten links KachelX 17822 KachelY + 1 15725 0.27573305 0.12602673 15.798340 7.220800
    Unten rechts KachelX + 1 17823 KachelY + 1 15725 0.27592479 0.12602673 15.809326 7.220800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12621695-0.12602673) × R
    0.000190219999999991 × 6371000     		dl = 1211.89161999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12621695-0.12602673) × R
    0.000190219999999991 × 6371000     		dr = 1211.89161999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27573305-0.27592479) × cos(0.12621695) × R
    0.000191739999999996 × 0.992045209643925 × 6371000     		do = 1211.85816267516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27573305-0.27592479) × cos(0.12602673) × R
    0.000191739999999996 × 0.99206913698812 × 6371000     		du = 1211.88739173357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12621695)-sin(0.12602673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992045209643925-0.99206913698812)×R²
    abs(0.27592479-0.27573305)×2.39273441957621e-05×R²
    0.000191739999999996×2.39273441957621e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.39273441957621e-05×40589641000000     		ar = 1468658.46762852m²