Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17821 / 15728
↖ ↑ ↗
← N  7.188101°
E 15.787354°		 ← 1 212.04 m → N  7.188101°
E 15.798340°		 →
↑
1 212.08 m
↓
↑
1 212.08 m
↓
N  7.177201°
E 15.787354°		 ← 1 212.07 m →
1 469 108 m²		 N  7.177201°
E 15.798340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543869018554688 y=0.479995727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543869018554688 × 215)
    floor (0.543869018554688 × 32768)
    floor (17821.5)     		tx = 17821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479995727539062 × 215)
    floor (0.479995727539062 × 32768)
    floor (15728.5)     		ty = 15728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17821 / 15728 ti = "15/17821/15728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17821/15728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17821 ÷ 215
    17821 ÷ 32768     		x = 0.543853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15728 ÷ 215
    15728 ÷ 32768     		y = 0.47998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543853759765625 × 2 - 1) × π
    0.08770751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27554130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.125786424603027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27554130} λ = 0.27554130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125786424603027))-π/2
    2×atan(1.13403993938664)-π/2
    2×0.848126176979438-π/2
    1.69625235395888-1.57079632675     		φ = 0.12545603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27554130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.787354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12545603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.188101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17821 KachelY 15728 0.27554130 0.12545603 15.787354 7.188101
    Oben rechts KachelX + 1 17822 KachelY 15728 0.27573305 0.12545603 15.798340 7.188101
    Unten links KachelX 17821 KachelY + 1 15729 0.27554130 0.12526578 15.787354 7.177201
    Unten rechts KachelX + 1 17822 KachelY + 1 15729 0.27573305 0.12526578 15.798340 7.177201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12545603-0.12526578) × R
    0.000190250000000003 × 6371000     		dl = 1212.08275000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12545603-0.12526578) × R
    0.000190250000000003 × 6371000     		dr = 1212.08275000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27554130-0.27573305) × cos(0.12545603) × R
    0.000191749999999991 × 0.992140708642255 × 6371000     		do = 1212.03803120013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27554130-0.27573305) × cos(0.12526578) × R
    0.000191749999999991 × 0.992164496135151 × 6371000     		du = 1212.06709093511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12545603)-sin(0.12526578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992140708642255-0.992164496135151)×R²
    abs(0.27573305-0.27554130)×2.3787492895555e-05×R²
    0.000191749999999991×2.3787492895555e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.3787492895555e-05×40589641000000     		ar = 1469108.00579452m²