Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17820 / 52074
↖ ↑ ↗
← S 72.144787°
W 82.111816°		 ← 187.28 m → S 72.144787°
W 82.106323°		 →
↑
187.24 m
↓
↑
187.24 m
↓
S 72.146471°
W 82.111816°		 ← 187.26 m →
35 065 m²		 S 72.146471°
W 82.106323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271919250488281 y=0.794593811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271919250488281 × 216)
    floor (0.271919250488281 × 65536)
    floor (17820.5)     		tx = 17820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794593811035156 × 216)
    floor (0.794593811035156 × 65536)
    floor (52074.5)     		ty = 52074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17820 / 52074 ti = "16/17820/52074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17820/52074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17820 ÷ 216
    17820 ÷ 65536     		x = 0.27191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52074 ÷ 216
    52074 ÷ 65536     		y = 0.794586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.4561767578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43312155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.58917236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85093956812961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43312155} λ = -1.43312155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85093956812961))-π/2
    2×atan(0.157089500665201)-π/2
    2×0.155816130320929-π/2
    0.311632260641858-1.57079632675     		φ = -1.25916407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43312155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.111816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25916407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.144787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17820 KachelY 52074 -1.43312155 -1.25916407 -82.111816 -72.144787
    Oben rechts KachelX + 1 17821 KachelY 52074 -1.43302568 -1.25916407 -82.106323 -72.144787
    Unten links KachelX 17820 KachelY + 1 52075 -1.43312155 -1.25919346 -82.111816 -72.146471
    Unten rechts KachelX + 1 17821 KachelY + 1 52075 -1.43302568 -1.25919346 -82.106323 -72.146471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25916407--1.25919346) × R
    2.9390000000129e-05 × 6371000     		dl = 187.243690000822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25916407--1.25919346) × R
    2.9390000000129e-05 × 6371000     		dr = 187.243690000822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43312155--1.43302568) × cos(-1.25916407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.306612682315639 × 6371000     		do = 187.275276485284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43312155--1.43302568) × cos(-1.25919346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.306584707771162 × 6371000     		du = 187.258189975646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25916407)-sin(-1.25919346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306612682315639-0.306584707771162)×R²
    abs(-1.43302568--1.43312155)×2.79745444769497e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79745444769497e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79745444769497e-05×40589641000000     		ar = 35064.5141472946m²