Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17820 / 15772
↖ ↑ ↗
← N  6.708254°
E 15.776367°		 ← 1 213.28 m → N  6.708254°
E 15.787354°		 →
↑
1 213.29 m
↓
↑
1 213.29 m
↓
N  6.697343°
E 15.776367°		 ← 1 213.30 m →
1 472 076 m²		 N  6.697343°
E 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543838500976562 y=0.481338500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543838500976562 × 215)
    floor (0.543838500976562 × 32768)
    floor (17820.5)     		tx = 17820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481338500976562 × 215)
    floor (0.481338500976562 × 32768)
    floor (15772.5)     		ty = 15772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17820 / 15772 ti = "15/17820/15772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17820/15772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17820 ÷ 215
    17820 ÷ 32768     		x = 0.5438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15772 ÷ 215
    15772 ÷ 32768     		y = 0.4813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5438232421875 × 2 - 1) × π
    0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4813232421875 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.117349530269897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27534955} λ = 0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117349530269897))-π/2
    2×atan(1.12451241213382)-π/2
    2×0.84393872280243-π/2
    1.68787744560486-1.57079632675     		φ = 0.11708112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11708112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.708254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17820 KachelY 15772 0.27534955 0.11708112 15.776367 6.708254
    Oben rechts KachelX + 1 17821 KachelY 15772 0.27554130 0.11708112 15.787354 6.708254
    Unten links KachelX 17820 KachelY + 1 15773 0.27534955 0.11689068 15.776367 6.697343
    Unten rechts KachelX + 1 17821 KachelY + 1 15773 0.27554130 0.11689068 15.787354 6.697343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11708112-0.11689068) × R
    0.00019044 × 6371000     		dl = 1213.29324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11708112-0.11689068) × R
    0.00019044 × 6371000     		dr = 1213.29324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27534955-0.27554130) × cos(0.11708112) × R
    0.000191749999999991 × 0.993153831632787 × 6371000     		do = 1213.27570201044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27534955-0.27554130) × cos(0.11689068) × R
    0.000191749999999991 × 0.993176059645491 × 6371000     		du = 1213.30285662321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11708112)-sin(0.11689068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993153831632787-0.993176059645491)×R²
    abs(0.27554130-0.27534955)×2.22280127043506e-05×R²
    0.000191749999999991×2.22280127043506e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.22280127043506e-05×40589641000000     		ar = 1472075.68520854m²