Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17820 / 15727
↖ ↑ ↗
← N  7.199001°
E 15.776367°		 ← 1 212.01 m → N  7.199001°
E 15.787354°		 →
↑
1 212.02 m
↓
↑
1 212.02 m
↓
N  7.188101°
E 15.776367°		 ← 1 212.04 m →
1 468 996 m²		 N  7.188101°
E 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543838500976562 y=0.479965209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543838500976562 × 215)
    floor (0.543838500976562 × 32768)
    floor (17820.5)     		tx = 17820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479965209960938 × 215)
    floor (0.479965209960938 × 32768)
    floor (15727.5)     		ty = 15727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17820 / 15727 ti = "15/17820/15727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17820/15727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17820 ÷ 215
    17820 ÷ 32768     		x = 0.5438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15727 ÷ 215
    15727 ÷ 32768     		y = 0.479949951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5438232421875 × 2 - 1) × π
    0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479949951171875 × 2 - 1) × π
    0.04010009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.125978172201508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27534955} λ = 0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125978172201508))-π/2
    2×atan(1.13425740967064)-π/2
    2×0.848221296136923-π/2
    1.69644259227385-1.57079632675     		φ = 0.12564627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12564627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.199001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17820 KachelY 15727 0.27534955 0.12564627 15.776367 7.199001
    Oben rechts KachelX + 1 17821 KachelY 15727 0.27554130 0.12564627 15.787354 7.199001
    Unten links KachelX 17820 KachelY + 1 15728 0.27534955 0.12545603 15.776367 7.188101
    Unten rechts KachelX + 1 17821 KachelY + 1 15728 0.27554130 0.12545603 15.787354 7.188101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12564627-0.12545603) × R
    0.000190240000000008 × 6371000     		dl = 1212.01904000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12564627-0.12545603) × R
    0.000190240000000008 × 6371000     		dr = 1212.01904000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27534955-0.27554130) × cos(0.12564627) × R
    0.000191749999999991 × 0.992116886491924 × 6371000     		do = 1212.00892912627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27534955-0.27554130) × cos(0.12545603) × R
    0.000191749999999991 × 0.992140708642255 × 6371000     		du = 1212.03803120013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12564627)-sin(0.12545603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992116886491924-0.992140708642255)×R²
    abs(0.27554130-0.27534955)×2.38221503309211e-05×R²
    0.000191749999999991×2.38221503309211e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.38221503309211e-05×40589641000000     		ar = 1468995.53931529m²