Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1782 / 281
↖ ↑ ↗
← N 78.313860°
E133.242187°		 ← 3 959.06 m → N 78.313860°
E133.417969°		 →
↑
3 964.99 m
↓
↑
3 964.99 m
↓
N 78.278202°
E133.242187°		 ← 3 970.97 m →
15 721 248 m²		 N 78.278202°
E133.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870361328125 y=0.137451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870361328125 × 211)
    floor (0.870361328125 × 2048)
    floor (1782.5)     		tx = 1782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137451171875 × 211)
    floor (0.137451171875 × 2048)
    floor (281.5)     		ty = 281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1782 / 281 ti = "11/1782/281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1782/281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1782 ÷ 211
    1782 ÷ 2048     		x = 0.8701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 281 ÷ 211
    281 ÷ 2048     		y = 0.13720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8701171875 × 2 - 1) × π
    0.740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32551487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13720703125 × 2 - 1) × π
    0.7255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27949545073291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32551487} λ = 2.32551487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27949545073291))-π/2
    2×atan(9.77174883680903)-π/2
    2×1.46881551300168-π/2
    2.93763102600337-1.57079632675     		φ = 1.36683470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32551487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36683470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.313860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1782 KachelY 281 2.32551487 1.36683470 133.242187 78.313860
    Oben rechts KachelX + 1 1783 KachelY 281 2.32858284 1.36683470 133.417969 78.313860
    Unten links KachelX 1782 KachelY + 1 282 2.32551487 1.36621235 133.242187 78.278202
    Unten rechts KachelX + 1 1783 KachelY + 1 282 2.32858284 1.36621235 133.417969 78.278202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36683470-1.36621235) × R
    0.000622349999999994 × 6371000     		dl = 3964.99184999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36683470-1.36621235) × R
    0.000622349999999994 × 6371000     		dr = 3964.99184999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32551487-2.32858284) × cos(1.36683470) × R
    0.00306797000000003 × 0.202550419650011 × 6371000     		do = 3959.05797051313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32551487-2.32858284) × cos(1.36621235) × R
    0.00306797000000003 × 0.203159830211532 × 6371000     		du = 3970.96953181758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36683470)-sin(1.36621235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202550419650011-0.203159830211532)×R²
    abs(2.32858284-2.32551487)×0.000609410561520224×R²
    0.00306797000000003×0.000609410561520224×6371000²
    0.00306797000000003×0.000609410561520224×40589641000000     		ar = 15721247.7159441m²