Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1782 / 278
↖ ↑ ↗
← N 78.420193°
E133.242187°		 ← 3 923.53 m → N 78.420193°
E133.417969°		 →
↑
3 929.38 m
↓
↑
3 929.38 m
↓
N 78.384855°
E133.242187°		 ← 3 935.34 m →
15 440 227 m²		 N 78.384855°
E133.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870361328125 y=0.135986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870361328125 × 211)
    floor (0.870361328125 × 2048)
    floor (1782.5)     		tx = 1782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135986328125 × 211)
    floor (0.135986328125 × 2048)
    floor (278.5)     		ty = 278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1782 / 278 ti = "11/1782/278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1782/278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1782 ÷ 211
    1782 ÷ 2048     		x = 0.8701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 278 ÷ 211
    278 ÷ 2048     		y = 0.1357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8701171875 × 2 - 1) × π
    0.740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32551487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1357421875 × 2 - 1) × π
    0.728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28869933545996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32551487} λ = 2.32551487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28869933545996))-π/2
    2×atan(9.86210204913144)-π/2
    2×1.46974344974837-π/2
    2.93948689949675-1.57079632675     		φ = 1.36869057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32551487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36869057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.420193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1782 KachelY 278 2.32551487 1.36869057 133.242187 78.420193
    Oben rechts KachelX + 1 1783 KachelY 278 2.32858284 1.36869057 133.417969 78.420193
    Unten links KachelX 1782 KachelY + 1 279 2.32551487 1.36807381 133.242187 78.384855
    Unten rechts KachelX + 1 1783 KachelY + 1 279 2.32858284 1.36807381 133.417969 78.384855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36869057-1.36807381) × R
    0.000616759999999994 × 6371000     		dl = 3929.37795999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36869057-1.36807381) × R
    0.000616759999999994 × 6371000     		dr = 3929.37795999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32551487-2.32858284) × cos(1.36869057) × R
    0.00306797000000003 × 0.200732670654823 × 6371000     		do = 3923.52818163279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32551487-2.32858284) × cos(1.36807381) × R
    0.00306797000000003 × 0.201336838939343 × 6371000     		du = 3935.33727719769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36869057)-sin(1.36807381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200732670654823-0.201336838939343)×R²
    abs(2.32858284-2.32551487)×0.000604168284519757×R²
    0.00306797000000003×0.000604168284519757×6371000²
    0.00306797000000003×0.000604168284519757×40589641000000     		ar = 15440226.8517029m²