Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 1782 / 2317
↖ ↑ ↗
← N 78.002758°
W140.844726°		 ← 507.86 m → N 78.002758°
W140.822754°		 →
↑
507.96 m
↓
↑
507.96 m
↓
N 77.998190°
W140.844726°		 ← 508.05 m →
258 020 m²		 N 77.998190°
W140.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108795166015625 y=0.141448974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108795166015625 × 214)
    floor (0.108795166015625 × 16384)
    floor (1782.5)     		tx = 1782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141448974609375 × 214)
    floor (0.141448974609375 × 16384)
    floor (2317.5)     		ty = 2317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1782 / 2317 ti = "14/1782/2317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1782/2317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1782 ÷ 214
    1782 ÷ 16384     		x = 0.1087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2317 ÷ 214
    2317 ÷ 16384     		y = 0.14141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45820421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14141845703125 × 2 - 1) × π
    0.7171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25303428214264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45820421} λ = -2.45820421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25303428214264))-π/2
    2×atan(9.51656802415597)-π/2
    2×1.46610064280616-π/2
    2.93220128561232-1.57079632675     		φ = 1.36140496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45820421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.844726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36140496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.002758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1782 KachelY 2317 -2.45820421 1.36140496 -140.844726 78.002758
    Oben rechts KachelX + 1 1783 KachelY 2317 -2.45782072 1.36140496 -140.822754 78.002758
    Unten links KachelX 1782 KachelY + 1 2318 -2.45820421 1.36132523 -140.844726 77.998190
    Unten rechts KachelX + 1 1783 KachelY + 1 2318 -2.45782072 1.36132523 -140.822754 77.998190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36140496-1.36132523) × R
    7.97299999999446e-05 × 6371000     		dl = 507.959829999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36140496-1.36132523) × R
    7.97299999999446e-05 × 6371000     		dr = 507.959829999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45820421--2.45782072) × cos(1.36140496) × R
    0.000383489999999931 × 0.207864599182176 × 6371000     		do = 507.857863039223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45820421--2.45782072) × cos(1.36132523) × R
    0.000383489999999931 × 0.207942587027589 × 6371000     		du = 508.048404096577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36140496)-sin(1.36132523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207864599182176-0.207942587027589)×R²
    abs(-2.45782072--2.45820421)×7.7987845413241e-05×R²
    0.000383489999999931×7.7987845413241e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.7987845413241e-05×40589641000000     		ar = 258019.78751201m²