Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17818 / 15671
↖ ↑ ↗
← N  7.808963°
E 15.754395°		 ← 1 210.25 m → N  7.808963°
E 15.765381°		 →
↑
1 210.30 m
↓
↑
1 210.30 m
↓
N  7.798079°
E 15.754395°		 ← 1 210.28 m →
1 464 780 m²		 N  7.798079°
E 15.765381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543777465820312 y=0.478256225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543777465820312 × 215)
    floor (0.543777465820312 × 32768)
    floor (17818.5)     		tx = 17818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478256225585938 × 215)
    floor (0.478256225585938 × 32768)
    floor (15671.5)     		ty = 15671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17818 / 15671 ti = "15/17818/15671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17818/15671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17818 ÷ 215
    17818 ÷ 32768     		x = 0.54376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15671 ÷ 215
    15671 ÷ 32768     		y = 0.478240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54376220703125 × 2 - 1) × π
    0.0875244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27496606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478240966796875 × 2 - 1) × π
    0.04351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.1367160377164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27496606} λ = 0.27496606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.1367160377164))-π/2
    2×atan(1.14650253881307)-π/2
    2×0.853544222205799-π/2
    1.7070884444116-1.57079632675     		φ = 0.13629212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27496606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.754395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13629212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.808963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17818 KachelY 15671 0.27496606 0.13629212 15.754395 7.808963
    Oben rechts KachelX + 1 17819 KachelY 15671 0.27515780 0.13629212 15.765381 7.808963
    Unten links KachelX 17818 KachelY + 1 15672 0.27496606 0.13610215 15.754395 7.798079
    Unten rechts KachelX + 1 17819 KachelY + 1 15672 0.27515780 0.13610215 15.765381 7.798079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13629212-0.13610215) × R
    0.000189969999999984 × 6371000     		dl = 1210.2988699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13629212-0.13610215) × R
    0.000189969999999984 × 6371000     		dr = 1210.2988699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27496606-0.27515780) × cos(0.13629212) × R
    0.000191739999999996 × 0.9907265972288 × 6371000     		do = 1210.24737800211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27496606-0.27515780) × cos(0.13610215) × R
    0.000191739999999996 × 0.990752390682287 × 6371000     		du = 1210.27888665398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13629212)-sin(0.13610215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9907265972288-0.990752390682287)×R²
    abs(0.27515780-0.27496606)×2.57934534872994e-05×R²
    0.000191739999999996×2.57934534872994e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.57934534872994e-05×40589641000000     		ar = 1464780.10586436m²