Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17817 / 23959
↖ ↑ ↗
← S 63.660886°
E 15.743408°		 ← 542.02 m → S 63.660886°
E 15.754395°		 →
↑
541.98 m
↓
↑
541.98 m
↓
S 63.665760°
E 15.743408°		 ← 541.93 m →
293 740 m²		 S 63.665760°
E 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543746948242188 y=0.731185913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543746948242188 × 215)
    floor (0.543746948242188 × 32768)
    floor (17817.5)     		tx = 17817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731185913085938 × 215)
    floor (0.731185913085938 × 32768)
    floor (23959.5)     		ty = 23959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17817 / 23959 ti = "15/17817/23959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17817/23959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17817 ÷ 215
    17817 ÷ 32768     		x = 0.543731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23959 ÷ 215
    23959 ÷ 32768     		y = 0.731170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543731689453125 × 2 - 1) × π
    0.08746337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27477431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731170654296875 × 2 - 1) × π
    -0.46234130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4524880584877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27477431} λ = 0.27477431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4524880584877))-π/2
    2×atan(0.233987388941834)-π/2
    2×0.229852127995007-π/2
    0.459704255990014-1.57079632675     		φ = -1.11109207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27477431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.743408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11109207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.660886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17817 KachelY 23959 0.27477431 -1.11109207 15.743408 -63.660886
    Oben rechts KachelX + 1 17818 KachelY 23959 0.27496606 -1.11109207 15.754395 -63.660886
    Unten links KachelX 17817 KachelY + 1 23960 0.27477431 -1.11117714 15.743408 -63.665760
    Unten rechts KachelX + 1 17818 KachelY + 1 23960 0.27496606 -1.11117714 15.754395 -63.665760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11109207--1.11117714) × R
    8.50699999999094e-05 × 6371000     		dl = 541.980969999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11109207--1.11117714) × R
    8.50699999999094e-05 × 6371000     		dr = 541.980969999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27477431-0.27496606) × cos(-1.11109207) × R
    0.000191749999999991 × 0.443683086117076 × 6371000     		do = 542.020672561723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27477431-0.27496606) × cos(-1.11117714) × R
    0.000191749999999991 × 0.443606846159856 × 6371000     		du = 541.927534837565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11109207)-sin(-1.11117714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443683086117076-0.443606846159856)×R²
    abs(0.27496606-0.27477431)×7.62399572196149e-05×R²
    0.000191749999999991×7.62399572196149e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.62399572196149e-05×40589641000000     		ar = 293739.650614976m²