Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17817 / 15670
↖ ↑ ↗
← N  7.819847°
E 15.743408°		 ← 1 210.28 m → N  7.819847°
E 15.754395°		 →
↑
1 210.24 m
↓
↑
1 210.24 m
↓
N  7.808963°
E 15.743408°		 ← 1 210.31 m →
1 464 741 m²		 N  7.808963°
E 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543746948242188 y=0.478225708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543746948242188 × 215)
    floor (0.543746948242188 × 32768)
    floor (17817.5)     		tx = 17817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478225708007812 × 215)
    floor (0.478225708007812 × 32768)
    floor (15670.5)     		ty = 15670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17817 / 15670 ti = "15/17817/15670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17817/15670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17817 ÷ 215
    17817 ÷ 32768     		x = 0.543731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15670 ÷ 215
    15670 ÷ 32768     		y = 0.47821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543731689453125 × 2 - 1) × π
    0.08746337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27477431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47821044921875 × 2 - 1) × π
    0.0435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.13690778531488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27477431} λ = 0.27477431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.13690778531488))-π/2
    2×atan(1.1467223989997)-π/2
    2×0.853639205690842-π/2
    1.70727841138168-1.57079632675     		φ = 0.13648208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27477431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.743408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13648208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.819847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17817 KachelY 15670 0.27477431 0.13648208 15.743408 7.819847
    Oben rechts KachelX + 1 17818 KachelY 15670 0.27496606 0.13648208 15.754395 7.819847
    Unten links KachelX 17817 KachelY + 1 15671 0.27477431 0.13629212 15.743408 7.808963
    Unten rechts KachelX + 1 17818 KachelY + 1 15671 0.27496606 0.13629212 15.754395 7.808963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13648208-0.13629212) × R
    0.000189960000000017 × 6371000     		dl = 1210.23516000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13648208-0.13629212) × R
    0.000189960000000017 × 6371000     		dr = 1210.23516000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27477431-0.27496606) × cos(0.13648208) × R
    0.000191749999999991 × 0.990700769381963 × 6371000     		do = 1210.27894488214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27477431-0.27496606) × cos(0.13629212) × R
    0.000191749999999991 × 0.9907265972288 × 6371000     		du = 1210.31049719358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13648208)-sin(0.13629212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990700769381963-0.9907265972288)×R²
    abs(0.27496606-0.27477431)×2.58278468363571e-05×R²
    0.000191749999999991×2.58278468363571e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.58278468363571e-05×40589641000000     		ar = 1464741.22976718m²