Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17816 / 52105
↖ ↑ ↗
← S 72.196926°
W 82.133789°		 ← 186.77 m → S 72.196926°
W 82.128296°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
S 72.198605°
W 82.133789°		 ← 186.75 m →
34 874 m²		 S 72.198605°
W 82.128296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271858215332031 y=0.795066833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271858215332031 × 216)
    floor (0.271858215332031 × 65536)
    floor (17816.5)     		tx = 17816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795066833496094 × 216)
    floor (0.795066833496094 × 65536)
    floor (52105.5)     		ty = 52105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17816 / 52105 ti = "16/17816/52105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17816/52105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17816 ÷ 216
    17816 ÷ 65536     		x = 0.2718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52105 ÷ 216
    52105 ÷ 65536     		y = 0.795059204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43350505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795059204101562 × 2 - 1) × π
    -0.590118408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85391165590605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43350505} λ = -1.43350505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85391165590605))-π/2
    2×atan(0.156623310003417)-π/2
    2×0.15536113435632-π/2
    0.310722268712639-1.57079632675     		φ = -1.26007406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43350505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.133789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26007406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.196926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17816 KachelY 52105 -1.43350505 -1.26007406 -82.133789 -72.196926
    Oben rechts KachelX + 1 17817 KachelY 52105 -1.43340917 -1.26007406 -82.128296 -72.196926
    Unten links KachelX 17816 KachelY + 1 52106 -1.43350505 -1.26010337 -82.133789 -72.198605
    Unten rechts KachelX + 1 17817 KachelY + 1 52106 -1.43340917 -1.26010337 -82.128296 -72.198605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26007406--1.26010337) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dl = 186.734009999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26007406--1.26010337) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dr = 186.734009999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43350505--1.43340917) × cos(-1.26007406) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.30574639572897 × 6371000     		do = 186.765638335585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43350505--1.43340917) × cos(-1.26010337) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.305718489165973 × 6371000     		du = 186.748591570276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26007406)-sin(-1.26010337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30574639572897-0.305718489165973)×R²
    abs(-1.43340917--1.43350505)×2.79065629974484e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.79065629974484e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.79065629974484e-05×40589641000000     		ar = 34873.904973467m²