Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17816 / 15689
↖ ↑ ↗
← N  7.612997°
E 15.732422°		 ← 1 210.87 m → N  7.612997°
E 15.743408°		 →
↑
1 210.87 m
↓
↑
1 210.87 m
↓
N  7.602108°
E 15.732422°		 ← 1 210.90 m →
1 466 229 m²		 N  7.602108°
E 15.743408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543716430664062 y=0.478805541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543716430664062 × 215)
    floor (0.543716430664062 × 32768)
    floor (17816.5)     		tx = 17816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478805541992188 × 215)
    floor (0.478805541992188 × 32768)
    floor (15689.5)     		ty = 15689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17816 / 15689 ti = "15/17816/15689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17816/15689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17816 ÷ 215
    17816 ÷ 32768     		x = 0.543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15689 ÷ 215
    15689 ÷ 32768     		y = 0.478790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543701171875 × 2 - 1) × π
    0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478790283203125 × 2 - 1) × π
    0.04241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.133264580943756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27458256} λ = 0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133264580943756))-π/2
    2×atan(1.14255225589749)-π/2
    2×0.851834099575518-π/2
    1.70366819915104-1.57079632675     		φ = 0.13287187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13287187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.612997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17816 KachelY 15689 0.27458256 0.13287187 15.732422 7.612997
    Oben rechts KachelX + 1 17817 KachelY 15689 0.27477431 0.13287187 15.743408 7.612997
    Unten links KachelX 17816 KachelY + 1 15690 0.27458256 0.13268181 15.732422 7.602108
    Unten rechts KachelX + 1 17817 KachelY + 1 15690 0.27477431 0.13268181 15.743408 7.602108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13287187-0.13268181) × R
    0.000190059999999992 × 6371000     		dl = 1210.87225999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13287187-0.13268181) × R
    0.000190059999999992 × 6371000     		dr = 1210.87225999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27458256-0.27477431) × cos(0.13287187) × R
    0.000191750000000046 × 0.99118551280276 × 6371000     		do = 1210.87112647152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27458256-0.27477431) × cos(0.13268181) × R
    0.000191750000000046 × 0.991210674285068 × 6371000     		du = 1210.9018647259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13287187)-sin(0.13268181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99118551280276-0.991210674285068)×R²
    abs(0.27477431-0.27458256)×2.51614823081336e-05×R²
    0.000191750000000046×2.51614823081336e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.51614823081336e-05×40589641000000     		ar = 1466228.8719427m²