Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17815 / 52106
↖ ↑ ↗
← S 72.198605°
W 82.139282°		 ← 186.73 m → S 72.198605°
W 82.133789°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
S 72.200284°
W 82.139282°		 ← 186.71 m →
34 867 m²		 S 72.200284°
W 82.133789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271842956542969 y=0.795082092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271842956542969 × 216)
    floor (0.271842956542969 × 65536)
    floor (17815.5)     		tx = 17815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795082092285156 × 216)
    floor (0.795082092285156 × 65536)
    floor (52106.5)     		ty = 52106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17815 / 52106 ti = "16/17815/52106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17815/52106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17815 ÷ 216
    17815 ÷ 65536     		x = 0.271835327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52106 ÷ 216
    52106 ÷ 65536     		y = 0.795074462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271835327148438 × 2 - 1) × π
    -0.456329345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43360092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.59014892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85400752970529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43360092} λ = -1.43360092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85400752970529))-π/2
    2×atan(0.156608294651438)-π/2
    2×0.155346478490877-π/2
    0.310692956981753-1.57079632675     		φ = -1.26010337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43360092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.139282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26010337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.198605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17815 KachelY 52106 -1.43360092 -1.26010337 -82.139282 -72.198605
    Oben rechts KachelX + 1 17816 KachelY 52106 -1.43350505 -1.26010337 -82.133789 -72.198605
    Unten links KachelX 17815 KachelY + 1 52107 -1.43360092 -1.26013268 -82.139282 -72.200284
    Unten rechts KachelX + 1 17816 KachelY + 1 52107 -1.43350505 -1.26013268 -82.133789 -72.200284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26010337--1.26013268) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dl = 186.734009999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26010337--1.26013268) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dr = 186.734009999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43360092--1.43350505) × cos(-1.26010337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305718489165973 × 6371000     		do = 186.72911424545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43360092--1.43350505) × cos(-1.26013268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.30569058234034 × 6371000     		du = 186.712069097654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26010337)-sin(-1.26013268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305718489165973-0.30569058234034)×R²
    abs(-1.43350505--1.43360092)×2.79068256329729e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79068256329729e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79068256329729e-05×40589641000000     		ar = 34867.084834888m²