Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17815 / 15677
↖ ↑ ↗
← N  7.743651°
E 15.721435°		 ← 1 210.50 m → N  7.743651°
E 15.732422°		 →
↑
1 210.49 m
↓
↑
1 210.49 m
↓
N  7.732765°
E 15.721435°		 ← 1 210.53 m →
1 465 316 m²		 N  7.732765°
E 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543685913085938 y=0.478439331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543685913085938 × 215)
    floor (0.543685913085938 × 32768)
    floor (17815.5)     		tx = 17815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478439331054688 × 215)
    floor (0.478439331054688 × 32768)
    floor (15677.5)     		ty = 15677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17815 / 15677 ti = "15/17815/15677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17815/15677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17815 ÷ 215
    17815 ÷ 32768     		x = 0.543670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15677 ÷ 215
    15677 ÷ 32768     		y = 0.478424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543670654296875 × 2 - 1) × π
    0.08734130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27439081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478424072265625 × 2 - 1) × π
    0.04315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.135565552125519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27439081} λ = 0.27439081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.135565552125519))-π/2
    2×atan(1.14518426263654)-π/2
    2×0.852974269446195-π/2
    1.70594853889239-1.57079632675     		φ = 0.13515221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27439081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.721435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13515221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.743651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17815 KachelY 15677 0.27439081 0.13515221 15.721435 7.743651
    Oben rechts KachelX + 1 17816 KachelY 15677 0.27458256 0.13515221 15.732422 7.743651
    Unten links KachelX 17815 KachelY + 1 15678 0.27439081 0.13496221 15.721435 7.732765
    Unten rechts KachelX + 1 17816 KachelY + 1 15678 0.27458256 0.13496221 15.732422 7.732765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13515221-0.13496221) × R
    0.000189999999999996 × 6371000     		dl = 1210.48999999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13515221-0.13496221) × R
    0.000189999999999996 × 6371000     		dr = 1210.48999999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27439081-0.27458256) × cos(0.13515221) × R
    0.000191749999999991 × 0.990880833734845 × 6371000     		do = 1210.49891856315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27439081-0.27458256) × cos(0.13496221) × R
    0.000191749999999991 × 0.990906416664854 × 6371000     		du = 1210.53017167458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13515221)-sin(0.13496221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990880833734845-0.990906416664854)×R²
    abs(0.27458256-0.27439081)×2.55829300094268e-05×R²
    0.000191749999999991×2.55829300094268e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.55829300094268e-05×40589641000000     		ar = 1465315.7561291m²