Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17813 / 52109
↖ ↑ ↗
← S 72.203642°
W 82.150269°		 ← 186.70 m → S 72.203642°
W 82.144775°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
S 72.205321°
W 82.150269°		 ← 186.68 m →
34 849 m²		 S 72.205321°
W 82.144775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271812438964844 y=0.795127868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271812438964844 × 216)
    floor (0.271812438964844 × 65536)
    floor (17813.5)     		tx = 17813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795127868652344 × 216)
    floor (0.795127868652344 × 65536)
    floor (52109.5)     		ty = 52109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17813 / 52109 ti = "16/17813/52109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17813/52109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17813 ÷ 216
    17813 ÷ 65536     		x = 0.271804809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52109 ÷ 216
    52109 ÷ 65536     		y = 0.795120239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271804809570312 × 2 - 1) × π
    -0.456390380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43379267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795120239257812 × 2 - 1) × π
    -0.590240478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85429515110301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43379267} λ = -1.43379267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85429515110301))-π/2
    2×atan(0.156563257232009)-π/2
    2×0.155302518920779-π/2
    0.310605037841559-1.57079632675     		φ = -1.26019129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43379267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.150269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26019129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.203642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17813 KachelY 52109 -1.43379267 -1.26019129 -82.150269 -72.203642
    Oben rechts KachelX + 1 17814 KachelY 52109 -1.43369679 -1.26019129 -82.144775 -72.203642
    Unten links KachelX 17813 KachelY + 1 52110 -1.43379267 -1.26022059 -82.150269 -72.205321
    Unten rechts KachelX + 1 17814 KachelY + 1 52110 -1.43369679 -1.26022059 -82.144775 -72.205321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26019129--1.26022059) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26019129--1.26022059) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43379267--1.43369679) × cos(-1.26019129) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.305634777422752 × 6371000     		do = 186.697456128468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43379267--1.43369679) × cos(-1.26022059) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.305606879331024 × 6371000     		du = 186.680414537847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26019129)-sin(-1.26022059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305634777422752-0.305606879331024)×R²
    abs(-1.43369679--1.43379267)×2.78980917280958e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.78980917280958e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.78980917280958e-05×40589641000000     		ar = 34849.2795677511m²