Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17813 / 23997
↖ ↑ ↗
← S 63.845512°
E 15.699463°		 ← 538.49 m → S 63.845512°
E 15.710449°		 →
↑
538.41 m
↓
↑
538.41 m
↓
S 63.850354°
E 15.699463°		 ← 538.40 m →
289 905 m²		 S 63.850354°
E 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543624877929688 y=0.732345581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543624877929688 × 215)
    floor (0.543624877929688 × 32768)
    floor (17813.5)     		tx = 17813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732345581054688 × 215)
    floor (0.732345581054688 × 32768)
    floor (23997.5)     		ty = 23997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17813 / 23997 ti = "15/17813/23997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17813/23997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17813 ÷ 215
    17813 ÷ 32768     		x = 0.543609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23997 ÷ 215
    23997 ÷ 32768     		y = 0.732330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543609619140625 × 2 - 1) × π
    0.08721923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27400732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732330322265625 × 2 - 1) × π
    -0.46466064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45977446722995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27400732} λ = 0.27400732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45977446722995))-π/2
    2×atan(0.232288657526901)-π/2
    2×0.228240968769388-π/2
    0.456481937538775-1.57079632675     		φ = -1.11431439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27400732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.699463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11431439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.845512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17813 KachelY 23997 0.27400732 -1.11431439 15.699463 -63.845512
    Oben rechts KachelX + 1 17814 KachelY 23997 0.27419907 -1.11431439 15.710449 -63.845512
    Unten links KachelX 17813 KachelY + 1 23998 0.27400732 -1.11439890 15.699463 -63.850354
    Unten rechts KachelX + 1 17814 KachelY + 1 23998 0.27419907 -1.11439890 15.710449 -63.850354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11431439--1.11439890) × R
    8.45099999999821e-05 × 6371000     		dl = 538.413209999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11431439--1.11439890) × R
    8.45099999999821e-05 × 6371000     		dr = 538.413209999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27400732-0.27419907) × cos(-1.11431439) × R
    0.000191749999999991 × 0.440792996828134 × 6371000     		do = 538.490026050347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27400732-0.27419907) × cos(-1.11439890) × R
    0.000191749999999991 × 0.440717138335602 × 6371000     		du = 538.397354338425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11431439)-sin(-1.11439890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440792996828134-0.440717138335602)×R²
    abs(0.27419907-0.27400732)×7.58584925316663e-05×R²
    0.000191749999999991×7.58584925316663e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.58584925316663e-05×40589641000000     		ar = 289905.195814615m²