Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17811 / 23956
↖ ↑ ↗
← S 63.646259°
E 15.677490°		 ← 542.30 m → S 63.646259°
E 15.688477°		 →
↑
542.24 m
↓
↑
542.24 m
↓
S 63.651136°
E 15.677490°		 ← 542.21 m →
294 029 m²		 S 63.651136°
E 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543563842773438 y=0.731094360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543563842773438 × 215)
    floor (0.543563842773438 × 32768)
    floor (17811.5)     		tx = 17811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731094360351562 × 215)
    floor (0.731094360351562 × 32768)
    floor (23956.5)     		ty = 23956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17811 / 23956 ti = "15/17811/23956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17811/23956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17811 ÷ 215
    17811 ÷ 32768     		x = 0.543548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23956 ÷ 215
    23956 ÷ 32768     		y = 0.7310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543548583984375 × 2 - 1) × π
    0.08709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27362382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45191281569226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27362382} λ = 0.27362382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45191281569226))-π/2
    2×atan(0.234122027222685)-π/2
    2×0.22997977364211-π/2
    0.459959547284219-1.57079632675     		φ = -1.11083678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27362382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.677490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11083678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.646259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17811 KachelY 23956 0.27362382 -1.11083678 15.677490 -63.646259
    Oben rechts KachelX + 1 17812 KachelY 23956 0.27381557 -1.11083678 15.688477 -63.646259
    Unten links KachelX 17811 KachelY + 1 23957 0.27362382 -1.11092189 15.677490 -63.651136
    Unten rechts KachelX + 1 17812 KachelY + 1 23957 0.27381557 -1.11092189 15.688477 -63.651136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11083678--1.11092189) × R
    8.51099999998883e-05 × 6371000     		dl = 542.235809999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11083678--1.11092189) × R
    8.51099999998883e-05 × 6371000     		dr = 542.235809999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27362382-0.27381557) × cos(-1.11083678) × R
    0.000191749999999991 × 0.443911858406812 × 6371000     		do = 542.300149770177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27362382-0.27381557) × cos(-1.11092189) × R
    0.000191749999999991 × 0.443835592242616 × 6371000     		du = 542.206980030548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11083678)-sin(-1.11092189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443911858406812-0.443835592242616)×R²
    abs(0.27381557-0.27362382)×7.62661641957041e-05×R²
    0.000191749999999991×7.62661641957041e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.62661641957041e-05×40589641000000     		ar = 294029.301166359m²