Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17811 / 15667
↖ ↑ ↗
← N  7.852499°
E 15.677490°		 ← 1 210.18 m → N  7.852499°
E 15.688477°		 →
↑
1 210.24 m
↓
↑
1 210.24 m
↓
N  7.841615°
E 15.677490°		 ← 1 210.22 m →
1 464 626 m²		 N  7.841615°
E 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543563842773438 y=0.478134155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543563842773438 × 215)
    floor (0.543563842773438 × 32768)
    floor (17811.5)     		tx = 17811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478134155273438 × 215)
    floor (0.478134155273438 × 32768)
    floor (15667.5)     		ty = 15667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17811 / 15667 ti = "15/17811/15667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17811/15667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17811 ÷ 215
    17811 ÷ 32768     		x = 0.543548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15667 ÷ 215
    15667 ÷ 32768     		y = 0.478118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543548583984375 × 2 - 1) × π
    0.08709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27362382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478118896484375 × 2 - 1) × π
    0.04376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.137483028110321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27362382} λ = 0.27362382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137483028110321))-π/2
    2×atan(1.14738223256215)-π/2
    2×0.853924141264605-π/2
    1.70784828252921-1.57079632675     		φ = 0.13705196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27362382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.677490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13705196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.852499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17811 KachelY 15667 0.27362382 0.13705196 15.677490 7.852499
    Oben rechts KachelX + 1 17812 KachelY 15667 0.27381557 0.13705196 15.688477 7.852499
    Unten links KachelX 17811 KachelY + 1 15668 0.27362382 0.13686200 15.677490 7.841615
    Unten rechts KachelX + 1 17812 KachelY + 1 15668 0.27381557 0.13686200 15.688477 7.841615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13705196-0.13686200) × R
    0.000189959999999989 × 6371000     		dl = 1210.23515999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13705196-0.13686200) × R
    0.000189959999999989 × 6371000     		dr = 1210.23515999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27362382-0.27381557) × cos(0.13705196) × R
    0.000191749999999991 × 0.990623071349745 × 6371000     		do = 1210.18402591634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27362382-0.27381557) × cos(0.13686200) × R
    0.000191749999999991 × 0.990649006441502 × 6371000     		du = 1210.21570924238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13705196)-sin(0.13686200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990623071349745-0.990649006441502)×R²
    abs(0.27381557-0.27362382)×2.59350917570789e-05×R²
    0.000191749999999991×2.59350917570789e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.59350917570789e-05×40589641000000     		ar = 1464626.43477592m²