Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1781 / 2287
↖ ↑ ↗
← N 78.139010°
W140.866699°		 ← 502.19 m → N 78.139010°
W140.844726°		 →
↑
502.23 m
↓
↑
502.23 m
↓
N 78.134493°
W140.866699°		 ← 502.37 m →
252 258 m²		 N 78.134493°
W140.844726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108734130859375 y=0.139617919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108734130859375 × 214)
    floor (0.108734130859375 × 16384)
    floor (1781.5)     		tx = 1781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139617919921875 × 214)
    floor (0.139617919921875 × 16384)
    floor (2287.5)     		ty = 2287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1781 / 2287 ti = "14/1781/2287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1781/2287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1781 ÷ 214
    1781 ÷ 16384     		x = 0.10870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2287 ÷ 214
    2287 ÷ 16384     		y = 0.13958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10870361328125 × 2 - 1) × π
    -0.7825927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45858771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13958740234375 × 2 - 1) × π
    0.7208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26453913805145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45858771} λ = -2.45858771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26453913805145))-π/2
    2×atan(9.62668700489808)-π/2
    2×1.46728966489821-π/2
    2.93457932979642-1.57079632675     		φ = 1.36378300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45858771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.866699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36378300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.139010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1781 KachelY 2287 -2.45858771 1.36378300 -140.866699 78.139010
    Oben rechts KachelX + 1 1782 KachelY 2287 -2.45820421 1.36378300 -140.844726 78.139010
    Unten links KachelX 1781 KachelY + 1 2288 -2.45858771 1.36370417 -140.866699 78.134493
    Unten rechts KachelX + 1 1782 KachelY + 1 2288 -2.45820421 1.36370417 -140.844726 78.134493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36378300-1.36370417) × R
    7.88299999998632e-05 × 6371000     		dl = 502.225929999128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36378300-1.36370417) × R
    7.88299999998632e-05 × 6371000     		dr = 502.225929999128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45858771--2.45820421) × cos(1.36378300) × R
    0.000383500000000314 × 0.205537915709012 × 6371000     		do = 502.186370387052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45858771--2.45820421) × cos(1.36370417) × R
    0.000383500000000314 × 0.205615061983061 × 6371000     		du = 502.374860219791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36378300)-sin(1.36370417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205537915709012-0.205615061983061)×R²
    abs(-2.45820421--2.45858771)×7.71462740489781e-05×R²
    0.000383500000000314×7.71462740489781e-05×6371000²
    0.000383500000000314×7.71462740489781e-05×40589641000000     		ar = 252258.349272271m²