Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1781 / 1795
↖ ↑ ↗
← N 70.568803°
W101.733398°		 ← 1 625.61 m → N 70.568803°
W101.689453°		 →
↑
1 626.20 m
↓
↑
1 626.20 m
↓
N 70.554179°
W101.733398°		 ← 1 626.79 m →
2 644 524 m²		 N 70.554179°
W101.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21746826171875 y=0.21917724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21746826171875 × 213)
    floor (0.21746826171875 × 8192)
    floor (1781.5)     		tx = 1781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21917724609375 × 213)
    floor (0.21917724609375 × 8192)
    floor (1795.5)     		ty = 1795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1781 / 1795 ti = "13/1781/1795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1781/1795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1781 ÷ 213
    1781 ÷ 8192     		x = 0.2174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1795 ÷ 213
    1795 ÷ 8192     		y = 0.2191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77558276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2191162109375 × 2 - 1) × π
    0.561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76484489641199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77558276} λ = -1.77558276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76484489641199))-π/2
    2×atan(5.8406663795157)-π/2
    2×1.40122714693156-π/2
    2.80245429386312-1.57079632675     		φ = 1.23165797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77558276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.733398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23165797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.568803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1781 KachelY 1795 -1.77558276 1.23165797 -101.733398 70.568803
    Oben rechts KachelX + 1 1782 KachelY 1795 -1.77481577 1.23165797 -101.689453 70.568803
    Unten links KachelX 1781 KachelY + 1 1796 -1.77558276 1.23140272 -101.733398 70.554179
    Unten rechts KachelX + 1 1782 KachelY + 1 1796 -1.77481577 1.23140272 -101.689453 70.554179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23165797-1.23140272) × R
    0.000255250000000151 × 6371000     		dl = 1626.19775000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23165797-1.23140272) × R
    0.000255250000000151 × 6371000     		dr = 1626.19775000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77558276--1.77481577) × cos(1.23165797) × R
    0.000766990000000023 × 0.332674650294458 × 6371000     		do = 1625.61244641702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77558276--1.77481577) × cos(1.23140272) × R
    0.000766990000000023 × 0.332915350838873 × 6371000     		du = 1626.7886280122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23165797)-sin(1.23140272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332674650294458-0.332915350838873)×R²
    abs(-1.77481577--1.77558276)×0.000240700544414996×R²
    0.000766990000000023×0.000240700544414996×6371000²
    0.000766990000000023×0.000240700544414996×40589641000000     		ar = 2644523.66902789m²