Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17805 / 15669
↖ ↑ ↗
← N  7.830732°
E 15.611572°		 ← 1 210.25 m → N  7.830732°
E 15.622559°		 →
↑
1 210.30 m
↓
↑
1 210.30 m
↓
N  7.819847°
E 15.611572°		 ← 1 210.28 m →
1 464 780 m²		 N  7.819847°
E 15.622559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543380737304688 y=0.478195190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543380737304688 × 215)
    floor (0.543380737304688 × 32768)
    floor (17805.5)     		tx = 17805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478195190429688 × 215)
    floor (0.478195190429688 × 32768)
    floor (15669.5)     		ty = 15669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17805 / 15669 ti = "15/17805/15669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17805/15669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17805 ÷ 215
    17805 ÷ 32768     		x = 0.543365478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15669 ÷ 215
    15669 ÷ 32768     		y = 0.478179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543365478515625 × 2 - 1) × π
    0.08673095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27247334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478179931640625 × 2 - 1) × π
    0.04364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.137099532913361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27247334} λ = 0.27247334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137099532913361))-π/2
    2×atan(1.14694230134803)-π/2
    2×0.8537341866979-π/2
    1.7074683733958-1.57079632675     		φ = 0.13667205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27247334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.611572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13667205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.830732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17805 KachelY 15669 0.27247334 0.13667205 15.611572 7.830732
    Oben rechts KachelX + 1 17806 KachelY 15669 0.27266509 0.13667205 15.622559 7.830732
    Unten links KachelX 17805 KachelY + 1 15670 0.27247334 0.13648208 15.611572 7.819847
    Unten rechts KachelX + 1 17806 KachelY + 1 15670 0.27266509 0.13648208 15.622559 7.819847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13667205-0.13648208) × R
    0.000189969999999984 × 6371000     		dl = 1210.2988699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13667205-0.13648208) × R
    0.000189969999999984 × 6371000     		dr = 1210.2988699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27247334-0.27266509) × cos(0.13667205) × R
    0.000191749999999991 × 0.990674904423417 × 6371000     		do = 1210.24734723358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27247334-0.27266509) × cos(0.13648208) × R
    0.000191749999999991 × 0.990700769381963 × 6371000     		du = 1210.27894488214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13667205)-sin(0.13648208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990674904423417-0.990700769381963)×R²
    abs(0.27266509-0.27247334)×2.58649585465065e-05×R²
    0.000191749999999991×2.58649585465065e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.58649585465065e-05×40589641000000     		ar = 1464780.12248143m²