Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17800 / 52088
↖ ↑ ↗
← S 72.168352°
W 82.221680°		 ← 187.06 m → S 72.168352°
W 82.216186°		 →
↑
187.05 m
↓
↑
187.05 m
↓
S 72.170034°
W 82.221680°		 ← 187.04 m →
34 988 m²		 S 72.170034°
W 82.216186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271614074707031 y=0.794807434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271614074707031 × 216)
    floor (0.271614074707031 × 65536)
    floor (17800.5)     		tx = 17800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794807434082031 × 216)
    floor (0.794807434082031 × 65536)
    floor (52088.5)     		ty = 52088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17800 / 52088 ti = "16/17800/52088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17800/52088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17800 ÷ 216
    17800 ÷ 65536     		x = 0.2716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52088 ÷ 216
    52088 ÷ 65536     		y = 0.7947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43503903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43503903} λ = -1.43503903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85228180131897))-π/2
    2×atan(0.15687879136585)-π/2
    2×0.155610488855094-π/2
    0.311220977710189-1.57079632675     		φ = -1.25957535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43503903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.221680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25957535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.168352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17800 KachelY 52088 -1.43503903 -1.25957535 -82.221680 -72.168352
    Oben rechts KachelX + 1 17801 KachelY 52088 -1.43494315 -1.25957535 -82.216186 -72.168352
    Unten links KachelX 17800 KachelY + 1 52089 -1.43503903 -1.25960471 -82.221680 -72.170034
    Unten rechts KachelX + 1 17801 KachelY + 1 52089 -1.43494315 -1.25960471 -82.216186 -72.170034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25957535--1.25960471) × R
    2.93600000000893e-05 × 6371000     		dl = 187.052560000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25957535--1.25960471) × R
    2.93600000000893e-05 × 6371000     		dr = 187.052560000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43503903--1.43494315) × cos(-1.25957535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.306221185956077 × 6371000     		do = 187.055664648502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43503903--1.43494315) × cos(-1.25960471) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.30619323626703 × 6371000     		du = 187.038591539582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25957535)-sin(-1.25960471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306221185956077-0.30619323626703)×R²
    abs(-1.43494315--1.43503903)×2.79496890469022e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.79496890469022e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.79496890469022e-05×40589641000000     		ar = 34987.6441528732m²