Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 178 / 89
↖ ↑ ↗
← N 81.466261°
W117.421875°		 ← 5 800.92 m → N 81.466261°
W117.070313°		 →
↑
5 818.57 m
↓
↑
5 818.57 m
↓
N 81.413933°
W117.421875°		 ← 5 836.23 m →
33 855 796 m²		 N 81.413933°
W117.070313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17431640625 y=0.08740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17431640625 × 210)
    floor (0.17431640625 × 1024)
    floor (178.5)     		tx = 178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08740234375 × 210)
    floor (0.08740234375 × 1024)
    floor (89.5)     		ty = 89
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 178 / 89 ti = "10/178/89"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/178/89.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 178 ÷ 210
    178 ÷ 1024     		x = 0.173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89 ÷ 210
    89 ÷ 1024     		y = 0.0869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173828125 × 2 - 1) × π
    -0.65234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.04939833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0869140625 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59549549302832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.04939833} λ = -2.04939833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59549549302832))-π/2
    2×atan(13.4032269218408)-π/2
    2×1.49632540404467-π/2
    2.99265080808934-1.57079632675     		φ = 1.42185448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.04939833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42185448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.466261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 178 KachelY 89 -2.04939833 1.42185448 -117.421875 81.466261
    Oben rechts KachelX + 1 179 KachelY 89 -2.04326241 1.42185448 -117.070313 81.466261
    Unten links KachelX 178 KachelY + 1 90 -2.04939833 1.42094119 -117.421875 81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 179 KachelY + 1 90 -2.04326241 1.42094119 -117.070313 81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42185448-1.42094119) × R
    0.000913289999999956 × 6371000     		dl = 5818.57058999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42185448-1.42094119) × R
    0.000913289999999956 × 6371000     		dr = 5818.57058999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.04939833--2.04326241) × cos(1.42185448) × R
    0.00613591999999974 × 0.148391777721568 × 6371000     		do = 5800.92340902066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.04939833--2.04326241) × cos(1.42094119) × R
    0.00613591999999974 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 5836.22799611744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42185448)-sin(1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148391777721568-0.149294894358631)×R²
    abs(-2.04326241--2.04939833)×0.0009031166370633×R²
    0.00613591999999974×0.0009031166370633×6371000²
    0.00613591999999974×0.0009031166370633×40589641000000     		ar = 33855795.8119231m²