Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17798 / 52110
↖ ↑ ↗
← S 72.205321°
W 82.232666°		 ← 186.66 m → S 72.205321°
W 82.227173°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
S 72.207000°
W 82.232666°		 ← 186.64 m →
34 842 m²		 S 72.207000°
W 82.227173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271583557128906 y=0.795143127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271583557128906 × 216)
    floor (0.271583557128906 × 65536)
    floor (17798.5)     		tx = 17798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795143127441406 × 216)
    floor (0.795143127441406 × 65536)
    floor (52110.5)     		ty = 52110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17798 / 52110 ti = "16/17798/52110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17798/52110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17798 ÷ 216
    17798 ÷ 65536     		x = 0.271575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52110 ÷ 216
    52110 ÷ 65536     		y = 0.795135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.45684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43523077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.59027099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85439102490225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43523077} λ = -1.43523077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85439102490225))-π/2
    2×atan(0.156548247637242)-π/2
    2×0.155287868405792-π/2
    0.310575736811585-1.57079632675     		φ = -1.26022059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43523077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.232666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26022059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.205321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17798 KachelY 52110 -1.43523077 -1.26022059 -82.232666 -72.205321
    Oben rechts KachelX + 1 17799 KachelY 52110 -1.43513490 -1.26022059 -82.227173 -72.205321
    Unten links KachelX 17798 KachelY + 1 52111 -1.43523077 -1.26024989 -82.232666 -72.207000
    Unten rechts KachelX + 1 17799 KachelY + 1 52111 -1.43513490 -1.26024989 -82.227173 -72.207000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26022059--1.26024989) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26022059--1.26024989) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43523077--1.43513490) × cos(-1.26022059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305606879331024 × 6371000     		do = 186.660944323251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43523077--1.43513490) × cos(-1.26024989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305578980976935 × 6371000     		du = 186.643904349771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26022059)-sin(-1.26024989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305606879331024-0.305578980976935)×R²
    abs(-1.43513490--1.43523077)×2.78983540885624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78983540885624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78983540885624e-05×40589641000000     		ar = 34842.4640491316m²