Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17794 / 18306
↖ ↑ ↗
← S 20.653346°
E 15.490722°		 ← 1 143.13 m → S 20.653346°
E 15.501709°		 →
↑
1 143.08 m
↓
↑
1 143.08 m
↓
S 20.663626°
E 15.490722°		 ← 1 143.05 m →
1 306 646 m²		 S 20.663626°
E 15.501709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543045043945312 y=0.558670043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543045043945312 × 215)
    floor (0.543045043945312 × 32768)
    floor (17794.5)     		tx = 17794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558670043945312 × 215)
    floor (0.558670043945312 × 32768)
    floor (18306.5)     		ty = 18306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17794 / 18306 ti = "15/17794/18306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17794/18306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17794 ÷ 215
    17794 ÷ 32768     		x = 0.54302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18306 ÷ 215
    18306 ÷ 32768     		y = 0.55865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54302978515625 × 2 - 1) × π
    0.0860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27036411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55865478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1173095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.368538884278992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27036411} λ = 0.27036411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368538884278992))-π/2
    2×atan(0.691744311096372)-π/2
    2×0.605163717483369-π/2
    1.21032743496674-1.57079632675     		φ = -0.36046889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27036411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.490722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36046889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.653346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17794 KachelY 18306 0.27036411 -0.36046889 15.490722 -20.653346
    Oben rechts KachelX + 1 17795 KachelY 18306 0.27055586 -0.36046889 15.501709 -20.653346
    Unten links KachelX 17794 KachelY + 1 18307 0.27036411 -0.36064831 15.490722 -20.663626
    Unten rechts KachelX + 1 17795 KachelY + 1 18307 0.27055586 -0.36064831 15.501709 -20.663626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36046889--0.36064831) × R
    0.000179420000000041 × 6371000     		dl = 1143.08482000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36046889--0.36064831) × R
    0.000179420000000041 × 6371000     		dr = 1143.08482000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27036411-0.27055586) × cos(-0.36046889) × R
    0.000191749999999991 × 0.935731542936626 × 6371000     		do = 1143.12638031439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27036411-0.27055586) × cos(-0.36064831) × R
    0.000191749999999991 × 0.935668244104308 × 6371000     		du = 1143.04905197635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36046889)-sin(-0.36064831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935731542936626-0.935668244104308)×R²
    abs(0.27055586-0.27036411)×6.32988323179262e-05×R²
    0.000191749999999991×6.32988323179262e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.32988323179262e-05×40589641000000     		ar = 1306646.21975969m²