Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17793 / 52103
↖ ↑ ↗
← S 72.193566°
W 82.260132°		 ← 186.78 m → S 72.193566°
W 82.254639°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
S 72.195246°
W 82.260132°		 ← 186.76 m →
34 877 m²		 S 72.195246°
W 82.254639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271507263183594 y=0.795036315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271507263183594 × 216)
    floor (0.271507263183594 × 65536)
    floor (17793.5)     		tx = 17793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795036315917969 × 216)
    floor (0.795036315917969 × 65536)
    floor (52103.5)     		ty = 52103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17793 / 52103 ti = "16/17793/52103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17793/52103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17793 ÷ 216
    17793 ÷ 65536     		x = 0.271499633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52103 ÷ 216
    52103 ÷ 65536     		y = 0.795028686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271499633789062 × 2 - 1) × π
    -0.457000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43571014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795028686523438 × 2 - 1) × π
    -0.590057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.85371990830757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43571014} λ = -1.43571014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85371990830757))-π/2
    2×atan(0.156653345026456)-π/2
    2×0.155390450100979-π/2
    0.310780900201958-1.57079632675     		φ = -1.26001543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43571014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.260132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26001543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.193566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17793 KachelY 52103 -1.43571014 -1.26001543 -82.260132 -72.193566
    Oben rechts KachelX + 1 17794 KachelY 52103 -1.43561427 -1.26001543 -82.254639 -72.193566
    Unten links KachelX 17793 KachelY + 1 52104 -1.43571014 -1.26004474 -82.260132 -72.195246
    Unten rechts KachelX + 1 17794 KachelY + 1 52104 -1.43561427 -1.26004474 -82.254639 -72.195246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26001543--1.26004474) × R
    2.93100000001711e-05 × 6371000     		dl = 186.73401000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26001543--1.26004474) × R
    2.93100000001711e-05 × 6371000     		dr = 186.73401000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43571014--1.43561427) × cos(-1.26001543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305802217587914 × 6371000     		do = 186.780254541573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43571014--1.43561427) × cos(-1.26004474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305774311550349 × 6371000     		du = 186.763209875119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26001543)-sin(-1.26004474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305802217587914-0.305774311550349)×R²
    abs(-1.43561427--1.43571014)×2.79060375652507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79060375652507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79060375652507e-05×40589641000000     		ar = 34876.6345123985m²