Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17791 / 51838
↖ ↑ ↗
← S 71.742990°
W 82.271118°		 ← 191.35 m → S 71.742990°
W 82.265625°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
S 71.744711°
W 82.271118°		 ← 191.33 m →
36 619 m²		 S 71.744711°
W 82.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271476745605469 y=0.790992736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271476745605469 × 216)
    floor (0.271476745605469 × 65536)
    floor (17791.5)     		tx = 17791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790992736816406 × 216)
    floor (0.790992736816406 × 65536)
    floor (51838.5)     		ty = 51838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17791 / 51838 ti = "16/17791/51838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17791/51838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17791 ÷ 216
    17791 ÷ 65536     		x = 0.271469116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51838 ÷ 216
    51838 ÷ 65536     		y = 0.790985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271469116210938 × 2 - 1) × π
    -0.457061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43590189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.58197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.82831335150894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43590189} λ = -1.43590189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82831335150894))-π/2
    2×atan(0.160684357376447)-π/2
    2×0.159322465987067-π/2
    0.318644931974135-1.57079632675     		φ = -1.25215139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43590189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.271118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25215139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.742990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17791 KachelY 51838 -1.43590189 -1.25215139 -82.271118 -71.742990
    Oben rechts KachelX + 1 17792 KachelY 51838 -1.43580602 -1.25215139 -82.265625 -71.742990
    Unten links KachelX 17791 KachelY + 1 51839 -1.43590189 -1.25218143 -82.271118 -71.744711
    Unten rechts KachelX + 1 17792 KachelY + 1 51839 -1.43580602 -1.25218143 -82.265625 -71.744711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25215139--1.25218143) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dl = 191.384839999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25215139--1.25218143) × R
    3.00399999999534e-05 × 6371000     		dr = 191.384839999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43590189--1.43580602) × cos(-1.25215139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313279998218804 × 6371000     		do = 191.347591497663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43590189--1.43580602) × cos(-1.25218143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313251470266903 × 6371000     		du = 191.330166973539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25215139)-sin(-1.25218143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313279998218804-0.313251470266903)×R²
    abs(-1.43580602--1.43590189)×2.85279519010029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85279519010029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85279519010029e-05×40589641000000     		ar = 36619.3607909789m²