Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1779 / 911
↖ ↑ ↗
← N 70.170201°
W 23.642578°		 ← 3 315.26 m → N 70.170201°
W 23.554687°		 →
↑
3 317.63 m
↓
↑
3 317.63 m
↓
N 70.140365°
W 23.642578°		 ← 3 320.05 m →
11 006 772 m²		 N 70.140365°
W 23.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4344482421875 y=0.2225341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4344482421875 × 212)
    floor (0.4344482421875 × 4096)
    floor (1779.5)     		tx = 1779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2225341796875 × 212)
    floor (0.2225341796875 × 4096)
    floor (911.5)     		ty = 911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1779 / 911 ti = "12/1779/911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1779/911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1779 ÷ 212
    1779 ÷ 4096     		x = 0.434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 911 ÷ 212
    911 ÷ 4096     		y = 0.222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.13134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41264083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222412109375 × 2 - 1) × π
    0.55517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74413615577612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41264083} λ = -0.41264083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74413615577612))-π/2
    2×atan(5.72095732430092)-π/2
    2×1.3977486827625-π/2
    2.795497365525-1.57079632675     		φ = 1.22470104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41264083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22470104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.170201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1779 KachelY 911 -0.41264083 1.22470104 -23.642578 70.170201
    Oben rechts KachelX + 1 1780 KachelY 911 -0.41110685 1.22470104 -23.554687 70.170201
    Unten links KachelX 1779 KachelY + 1 912 -0.41264083 1.22418030 -23.642578 70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 1780 KachelY + 1 912 -0.41110685 1.22418030 -23.554687 70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22470104-1.22418030) × R
    0.00052074000000002 × 6371000     		dl = 3317.63454000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22470104-1.22418030) × R
    0.00052074000000002 × 6371000     		dr = 3317.63454000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41264083--0.41110685) × cos(1.22470104) × R
    0.00153397999999999 × 0.339227221698606 × 6371000     		do = 3315.26308523114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41264083--0.41110685) × cos(1.22418030) × R
    0.00153397999999999 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 3320.05005460139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22470104)-sin(1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339227221698606-0.339717038125863)×R²
    abs(-0.41110685--0.41264083)×0.000489816427257372×R²
    0.00153397999999999×0.000489816427257372×6371000²
    0.00153397999999999×0.000489816427257372×40589641000000     		ar = 11006772.276937m²