Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17786 / 52098
↖ ↑ ↗
← S 72.185165°
W 82.298584°		 ← 186.87 m → S 72.185165°
W 82.293091°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
S 72.186845°
W 82.298584°		 ← 186.85 m →
34 916 m²		 S 72.186845°
W 82.293091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271400451660156 y=0.794960021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271400451660156 × 216)
    floor (0.271400451660156 × 65536)
    floor (17786.5)     		tx = 17786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794960021972656 × 216)
    floor (0.794960021972656 × 65536)
    floor (52098.5)     		ty = 52098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17786 / 52098 ti = "16/17786/52098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17786/52098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17786 ÷ 216
    17786 ÷ 65536     		x = 0.271392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52098 ÷ 216
    52098 ÷ 65536     		y = 0.794952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.45721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43638126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.58990478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85324053931137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43638126} λ = -1.43638126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85324053931137))-π/2
    2×atan(0.156728457785138)-π/2
    2×0.155463762881416-π/2
    0.310927525762832-1.57079632675     		φ = -1.25986880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43638126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.298584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25986880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.185165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17786 KachelY 52098 -1.43638126 -1.25986880 -82.298584 -72.185165
    Oben rechts KachelX + 1 17787 KachelY 52098 -1.43628539 -1.25986880 -82.293091 -72.185165
    Unten links KachelX 17786 KachelY + 1 52099 -1.43638126 -1.25989813 -82.298584 -72.186845
    Unten rechts KachelX + 1 17787 KachelY + 1 52099 -1.43628539 -1.25989813 -82.293091 -72.186845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25986880--1.25989813) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25986880--1.25989813) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43638126--1.43628539) × cos(-1.25986880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305941819998667 × 6371000     		do = 186.865521986723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43638126--1.43628539) × cos(-1.25989813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305913896234412 × 6371000     		du = 186.848466493024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25986880)-sin(-1.25989813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305941819998667-0.305913896234412)×R²
    abs(-1.43628539--1.43638126)×2.79237642548114e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79237642548114e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79237642548114e-05×40589641000000     		ar = 34916.3651516354m²