Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17784 / 15680
↖ ↑ ↗
← N  7.710991°
E 15.380859°		 ← 1 210.59 m → N  7.710991°
E 15.391846°		 →
↑
1 210.55 m
↓
↑
1 210.55 m
↓
N  7.700105°
E 15.380859°		 ← 1 210.62 m →
1 465 506 m²		 N  7.700105°
E 15.391846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542739868164062 y=0.478530883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542739868164062 × 215)
    floor (0.542739868164062 × 32768)
    floor (17784.5)     		tx = 17784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478530883789062 × 215)
    floor (0.478530883789062 × 32768)
    floor (15680.5)     		ty = 15680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17784 / 15680 ti = "15/17784/15680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17784/15680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17784 ÷ 215
    17784 ÷ 32768     		x = 0.542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15680 ÷ 215
    15680 ÷ 32768     		y = 0.478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542724609375 × 2 - 1) × π
    0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478515625 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.134990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26844664} λ = 0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134990309330078))-π/2
    2×atan(1.14452569307687)-π/2
    2×0.852689259886096-π/2
    1.70537851977219-1.57079632675     		φ = 0.13458219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13458219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.710991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17784 KachelY 15680 0.26844664 0.13458219 15.380859 7.710991
    Oben rechts KachelX + 1 17785 KachelY 15680 0.26863839 0.13458219 15.391846 7.710991
    Unten links KachelX 17784 KachelY + 1 15681 0.26844664 0.13439218 15.380859 7.700105
    Unten rechts KachelX + 1 17785 KachelY + 1 15681 0.26863839 0.13439218 15.391846 7.700105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13458219-0.13439218) × R
    0.00019000999999999 × 6371000     		dl = 1210.55370999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13458219-0.13439218) × R
    0.00019000999999999 × 6371000     		dr = 1210.55370999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26844664-0.26863839) × cos(0.13458219) × R
    0.000191749999999991 × 0.990957477892313 × 6371000     		do = 1210.5925500742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26844664-0.26863839) × cos(0.13439218) × R
    0.000191749999999991 × 0.990982954840506 × 6371000     		du = 1210.62367371408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13458219)-sin(0.13439218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990957477892313-0.990982954840506)×R²
    abs(0.26863839-0.26844664)×2.5476948193659e-05×R²
    0.000191749999999991×2.5476948193659e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.5476948193659e-05×40589641000000     		ar = 1465506.14561868m²