Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17783 / 15678
↖ ↑ ↗
← N  7.732765°
E 15.369873°		 ← 1 210.53 m → N  7.732765°
E 15.380859°		 →
↑
1 210.55 m
↓
↑
1 210.55 m
↓
N  7.721878°
E 15.369873°		 ← 1 210.56 m →
1 465 431 m²		 N  7.721878°
E 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542709350585938 y=0.478469848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542709350585938 × 215)
    floor (0.542709350585938 × 32768)
    floor (17783.5)     		tx = 17783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478469848632812 × 215)
    floor (0.478469848632812 × 32768)
    floor (15678.5)     		ty = 15678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17783 / 15678 ti = "15/17783/15678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17783/15678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17783 ÷ 215
    17783 ÷ 32768     		x = 0.542694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15678 ÷ 215
    15678 ÷ 32768     		y = 0.47845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542694091796875 × 2 - 1) × π
    0.08538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26825489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47845458984375 × 2 - 1) × π
    0.0430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.135373804527039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26825489} λ = 0.26825489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.135373804527039))-π/2
    2×atan(1.14496469735559)-π/2
    2×0.852879268709442-π/2
    1.70575853741888-1.57079632675     		φ = 0.13496221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26825489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.369873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13496221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.732765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17783 KachelY 15678 0.26825489 0.13496221 15.369873 7.732765
    Oben rechts KachelX + 1 17784 KachelY 15678 0.26844664 0.13496221 15.380859 7.732765
    Unten links KachelX 17783 KachelY + 1 15679 0.26825489 0.13477220 15.369873 7.721878
    Unten rechts KachelX + 1 17784 KachelY + 1 15679 0.26844664 0.13477220 15.380859 7.721878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13496221-0.13477220) × R
    0.00019000999999999 × 6371000     		dl = 1210.55370999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13496221-0.13477220) × R
    0.00019000999999999 × 6371000     		dr = 1210.55370999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26825489-0.26844664) × cos(0.13496221) × R
    0.000191749999999991 × 0.990906416664854 × 6371000     		do = 1210.53017167458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26825489-0.26844664) × cos(0.13477220) × R
    0.000191749999999991 × 0.990931965166788 × 6371000     		du = 1210.56138272732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13496221)-sin(0.13477220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990906416664854-0.990931965166788)×R²
    abs(0.26844664-0.26825489)×2.55485019338142e-05×R²
    0.000191749999999991×2.55485019338142e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.55485019338142e-05×40589641000000     		ar = 1465430.6861242m²