Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17781 / 15681
↖ ↑ ↗
← N  7.700105°
E 15.347901°		 ← 1 210.56 m → N  7.700105°
E 15.358887°		 →
↑
1 210.62 m
↓
↑
1 210.62 m
↓
N  7.689217°
E 15.347901°		 ← 1 210.59 m →
1 465 544 m²		 N  7.689217°
E 15.358887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542648315429688 y=0.478561401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542648315429688 × 215)
    floor (0.542648315429688 × 32768)
    floor (17781.5)     		tx = 17781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478561401367188 × 215)
    floor (0.478561401367188 × 32768)
    floor (15681.5)     		ty = 15681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17781 / 15681 ti = "15/17781/15681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17781/15681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17781 ÷ 215
    17781 ÷ 32768     		x = 0.542633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15681 ÷ 215
    15681 ÷ 32768     		y = 0.478546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542633056640625 × 2 - 1) × π
    0.08526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26787140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478546142578125 × 2 - 1) × π
    0.04290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.134798561731598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26787140} λ = 0.26787140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134798561731598))-π/2
    2×atan(1.14430625406294)-π/2
    2×0.852594251806237-π/2
    1.70518850361247-1.57079632675     		φ = 0.13439218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26787140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.347901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13439218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.700105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17781 KachelY 15681 0.26787140 0.13439218 15.347901 7.700105
    Oben rechts KachelX + 1 17782 KachelY 15681 0.26806314 0.13439218 15.358887 7.700105
    Unten links KachelX 17781 KachelY + 1 15682 0.26787140 0.13420216 15.347901 7.689217
    Unten rechts KachelX + 1 17782 KachelY + 1 15682 0.26806314 0.13420216 15.358887 7.689217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13439218-0.13420216) × R
    0.000190020000000013 × 6371000     		dl = 1210.61742000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13439218-0.13420216) × R
    0.000190020000000013 × 6371000     		dr = 1210.61742000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26787140-0.26806314) × cos(0.13439218) × R
    0.000191739999999996 × 0.990982954840506 × 6371000     		do = 1210.56053819006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26787140-0.26806314) × cos(0.13420216) × R
    0.000191739999999996 × 0.991008397348446 × 6371000     		du = 1210.59161813544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13439218)-sin(0.13420216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990982954840506-0.991008397348446)×R²
    abs(0.26806314-0.26787140)×2.54425079402321e-05×R²
    0.000191739999999996×2.54425079402321e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.54425079402321e-05×40589641000000     		ar = 1465544.49286895m²