Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17780 / 14552
↖ ↑ ↗
← N 80.077000°
W131.165772°		 ← 52.63 m → N 80.077000°
W131.163025°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.076526°
W131.165772°		 ← 52.63 m →
2 770 m²		 N 80.076526°
W131.163025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135654449462891 y=0.111026763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135654449462891 × 217)
    floor (0.135654449462891 × 131072)
    floor (17780.5)     		tx = 17780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111026763916016 × 217)
    floor (0.111026763916016 × 131072)
    floor (14552.5)     		ty = 14552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17780 / 14552 ti = "17/17780/14552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17780/14552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17780 ÷ 217
    17780 ÷ 131072     		x = 0.135650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14552 ÷ 217
    14552 ÷ 131072     		y = 0.11102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135650634765625 × 2 - 1) × π
    -0.72869873046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.28927458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11102294921875 × 2 - 1) × π
    0.7779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44401489022894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28927458} λ = -2.28927458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44401489022894))-π/2
    2×atan(11.5191963347872)-π/2
    2×1.48420181239146-π/2
    2.96840362478293-1.57079632675     		φ = 1.39760730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28927458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.165772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39760730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.077000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17780 KachelY 14552 -2.28927458 1.39760730 -131.165772 80.077000
    Oben rechts KachelX + 1 17781 KachelY 14552 -2.28922664 1.39760730 -131.163025 80.077000
    Unten links KachelX 17780 KachelY + 1 14553 -2.28927458 1.39759904 -131.165772 80.076526
    Unten rechts KachelX + 1 17781 KachelY + 1 14553 -2.28922664 1.39759904 -131.163025 80.076526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39760730-1.39759904) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39760730-1.39759904) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28927458--2.28922664) × cos(1.39760730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17232453968752 × 6371000     		do = 52.6323500541857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28927458--2.28922664) × cos(1.39759904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172332676113934 × 6371000     		du = 52.6348351282441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39760730)-sin(1.39759904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17232453968752-0.172332676113934)×R²
    abs(-2.28922664--2.28927458)×8.13642641392387e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.13642641392387e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.13642641392387e-06×40589641000000     		ar = 2769.81438786858m²