Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1778 / 858
↖ ↑ ↗
← N 27.994402°
E132.539063°		 ← 17.259 km → N 27.994402°
E132.714844°		 →
↑
17.271 km
↓
↑
17.271 km
↓
N 27.839076°
E132.539063°		 ← 17.284 km →
298.301 km²		 N 27.839076°
E132.714844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868408203125 y=0.419189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868408203125 × 211)
    floor (0.868408203125 × 2048)
    floor (1778.5)     		tx = 1778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419189453125 × 211)
    floor (0.419189453125 × 2048)
    floor (858.5)     		ty = 858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1778 / 858 ti = "11/1778/858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1778/858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1778 ÷ 211
    1778 ÷ 2048     		x = 0.8681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 858 ÷ 211
    858 ÷ 2048     		y = 0.4189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8681640625 × 2 - 1) × π
    0.736328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31324303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31324303} λ = 2.31324303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509281621563477))-π/2
    2×atan(1.66409531525942)-π/2
    2×1.02969540176487-π/2
    2.05939080352975-1.57079632675     		φ = 0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31324303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.539063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1778 KachelY 858 2.31324303 0.48859448 132.539063 27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 1779 KachelY 858 2.31631099 0.48859448 132.714844 27.994402
    Unten links KachelX 1778 KachelY + 1 859 2.31324303 0.48588354 132.539063 27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 1779 KachelY + 1 859 2.31631099 0.48588354 132.714844 27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48859448-0.48588354) × R
    0.00271094 × 6371000     		dl = 17271.39874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48859448-0.48588354) × R
    0.00271094 × 6371000     		dr = 17271.39874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31324303-2.31631099) × cos(0.48859448) × R
    0.00306795999999965 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 17258.9664886221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31324303-2.31631099) × cos(0.48588354) × R
    0.00306795999999965 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 17283.7748074849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48859448)-sin(0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.884262690120614)×R²
    abs(2.31631099-2.31324303)×0.00126922914810734×R²
    0.00306795999999965×0.00126922914810734×6371000²
    0.00306795999999965×0.00126922914810734×40589641000000     		ar = 298300911.938202m²