Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1778 / 567
↖ ↑ ↗
← N 78.224513°
W 23.730469°		 ← 1 994.44 m → N 78.224513°
W 23.642578°		 →
↑
1 995.97 m
↓
↑
1 995.97 m
↓
N 78.206563°
W 23.730469°		 ← 1 997.44 m →
3 983 843 m²		 N 78.206563°
W 23.642578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4342041015625 y=0.1385498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4342041015625 × 212)
    floor (0.4342041015625 × 4096)
    floor (1778.5)     		tx = 1778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1385498046875 × 212)
    floor (0.1385498046875 × 4096)
    floor (567.5)     		ty = 567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1778 / 567 ti = "12/1778/567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1778/567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1778 ÷ 212
    1778 ÷ 4096     		x = 0.43408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 567 ÷ 212
    567 ÷ 4096     		y = 0.138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138427734375 × 2 - 1) × π
    0.72314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2718255467937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41417481} λ = -0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2718255467937))-π/2
    2×atan(9.69708715190075)-π/2
    2×1.46803581773287-π/2
    2.93607163546575-1.57079632675     		φ = 1.36527531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36527531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.224513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1778 KachelY 567 -0.41417481 1.36527531 -23.730469 78.224513
    Oben rechts KachelX + 1 1779 KachelY 567 -0.41264083 1.36527531 -23.642578 78.224513
    Unten links KachelX 1778 KachelY + 1 568 -0.41417481 1.36496202 -23.730469 78.206563
    Unten rechts KachelX + 1 1779 KachelY + 1 568 -0.41264083 1.36496202 -23.642578 78.206563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36527531-1.36496202) × R
    0.0003132899999998 × 6371000     		dl = 1995.97058999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36527531-1.36496202) × R
    0.0003132899999998 × 6371000     		dr = 1995.97058999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41417481--0.41264083) × cos(1.36527531) × R
    0.00153397999999999 × 0.204077239467845 × 6371000     		do = 1994.44412260268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41417481--0.41264083) × cos(1.36496202) × R
    0.00153397999999999 × 0.204383926193747 × 6371000     		du = 1997.44136785919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36527531)-sin(1.36496202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204077239467845-0.204383926193747)×R²
    abs(-0.41264083--0.41417481)×0.00030668672590245×R²
    0.00153397999999999×0.00030668672590245×6371000²
    0.00153397999999999×0.00030668672590245×40589641000000     		ar = 3983843.05138237m²