Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1778 / 2298
↖ ↑ ↗
← N 78.089229°
W140.932617°		 ← 504.25 m → N 78.089229°
W140.910645°		 →
↑
504.33 m
↓
↑
504.33 m
↓
N 78.084694°
W140.932617°		 ← 504.44 m →
254 356 m²		 N 78.084694°
W140.910645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108551025390625 y=0.140289306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108551025390625 × 214)
    floor (0.108551025390625 × 16384)
    floor (1778.5)     		tx = 1778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140289306640625 × 214)
    floor (0.140289306640625 × 16384)
    floor (2298.5)     		ty = 2298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1778 / 2298 ti = "14/1778/2298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1778/2298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1778 ÷ 214
    1778 ÷ 16384     		x = 0.1085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2298 ÷ 214
    2298 ÷ 16384     		y = 0.1402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45973819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1402587890625 × 2 - 1) × π
    0.719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26032069088489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45973819} λ = -2.45973819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26032069088489))-π/2
    2×atan(9.58616286893702)-π/2
    2×1.46685524342843-π/2
    2.93371048685685-1.57079632675     		φ = 1.36291416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45973819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36291416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.089229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1778 KachelY 2298 -2.45973819 1.36291416 -140.932617 78.089229
    Oben rechts KachelX + 1 1779 KachelY 2298 -2.45935470 1.36291416 -140.910645 78.089229
    Unten links KachelX 1778 KachelY + 1 2299 -2.45973819 1.36283500 -140.932617 78.084694
    Unten rechts KachelX + 1 1779 KachelY + 1 2299 -2.45935470 1.36283500 -140.910645 78.084694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36291416-1.36283500) × R
    7.91600000000781e-05 × 6371000     		dl = 504.328360000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36291416-1.36283500) × R
    7.91600000000781e-05 × 6371000     		dr = 504.328360000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45973819--2.45935470) × cos(1.36291416) × R
    0.000383489999999931 × 0.206388127553836 × 6371000     		do = 504.250525719848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45973819--2.45935470) × cos(1.36283500) × R
    0.000383489999999931 × 0.206465582608486 × 6371000     		du = 504.43976505493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36291416)-sin(1.36283500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206388127553836-0.206465582608486)×R²
    abs(-2.45935470--2.45973819)×7.74550546501773e-05×R²
    0.000383489999999931×7.74550546501773e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.74550546501773e-05×40589641000000     		ar = 254355.560180529m²