Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1778 / 2291
↖ ↑ ↗
← N 78.120932°
W140.932617°		 ← 502.93 m → N 78.120932°
W140.910645°		 →
↑
503.05 m
↓
↑
503.05 m
↓
N 78.116408°
W140.932617°		 ← 503.12 m →
253 047 m²		 N 78.116408°
W140.910645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108551025390625 y=0.139862060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108551025390625 × 214)
    floor (0.108551025390625 × 16384)
    floor (1778.5)     		tx = 1778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139862060546875 × 214)
    floor (0.139862060546875 × 16384)
    floor (2291.5)     		ty = 2291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1778 / 2291 ti = "14/1778/2291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1778/2291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1778 ÷ 214
    1778 ÷ 16384     		x = 0.1085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2291 ÷ 214
    2291 ÷ 16384     		y = 0.13983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45973819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13983154296875 × 2 - 1) × π
    0.7203369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26300515726361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45973819} λ = -2.45973819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26300515726361))-π/2
    2×atan(9.61193117245722)-π/2
    2×1.46713190090583-π/2
    2.93426380181166-1.57079632675     		φ = 1.36346748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45973819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36346748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.120932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1778 KachelY 2291 -2.45973819 1.36346748 -140.932617 78.120932
    Oben rechts KachelX + 1 1779 KachelY 2291 -2.45935470 1.36346748 -140.910645 78.120932
    Unten links KachelX 1778 KachelY + 1 2292 -2.45973819 1.36338852 -140.932617 78.116408
    Unten rechts KachelX + 1 1779 KachelY + 1 2292 -2.45935470 1.36338852 -140.910645 78.116408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36346748-1.36338852) × R
    7.89599999999613e-05 × 6371000     		dl = 503.054159999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36346748-1.36338852) × R
    7.89599999999613e-05 × 6371000     		dr = 503.054159999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45973819--2.45935470) × cos(1.36346748) × R
    0.000383489999999931 × 0.205846688853785 × 6371000     		do = 502.927674680005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45973819--2.45935470) × cos(1.36338852) × R
    0.000383489999999931 × 0.205923957224646 × 6371000     		du = 503.116457906492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36346748)-sin(1.36338852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205846688853785-0.205923957224646)×R²
    abs(-2.45935470--2.45973819)×7.72683708611666e-05×R²
    0.000383489999999931×7.72683708611666e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.72683708611666e-05×40589641000000     		ar = 253047.343152119m²