Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17778 / 14551
↖ ↑ ↗
← N 80.077473°
W131.171265°		 ← 52.62 m → N 80.077473°
W131.168518°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.077000°
W131.171265°		 ← 52.62 m →
2 769 m²		 N 80.077000°
W131.168518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135639190673828 y=0.111019134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135639190673828 × 217)
    floor (0.135639190673828 × 131072)
    floor (17778.5)     		tx = 17778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111019134521484 × 217)
    floor (0.111019134521484 × 131072)
    floor (14551.5)     		ty = 14551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17778 / 14551 ti = "17/17778/14551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17778/14551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17778 ÷ 217
    17778 ÷ 131072     		x = 0.135635375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14551 ÷ 217
    14551 ÷ 131072     		y = 0.111015319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135635375976562 × 2 - 1) × π
    -0.728729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.28937045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111015319824219 × 2 - 1) × π
    0.777969360351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.44406282712856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28937045} λ = -2.28937045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44406282712856))-π/2
    2×atan(11.5197485425811)-π/2
    2×1.48420594264608-π/2
    2.96841188529215-1.57079632675     		φ = 1.39761556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28937045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.171265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39761556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.077473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17778 KachelY 14551 -2.28937045 1.39761556 -131.171265 80.077473
    Oben rechts KachelX + 1 17779 KachelY 14551 -2.28932252 1.39761556 -131.168518 80.077473
    Unten links KachelX 17778 KachelY + 1 14552 -2.28937045 1.39760730 -131.171265 80.077000
    Unten rechts KachelX + 1 17779 KachelY + 1 14552 -2.28932252 1.39760730 -131.168518 80.077000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39761556-1.39760730) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39761556-1.39760730) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28937045--2.28932252) × cos(1.39761556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172316403249349 × 6371000     		do = 52.618886698552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28937045--2.28932252) × cos(1.39760730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17232453968752 × 6371000     		du = 52.6213712578289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39761556)-sin(1.39760730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172316403249349-0.17232453968752)×R²
    abs(-2.28932252--2.28937045)×8.13643817121346e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.13643817121346e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.13643817121346e-06×40589641000000     		ar = 2769.10587276628m²