Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17777 / 15682
↖ ↑ ↗
← N  7.689217°
E 15.303955°		 ← 1 210.65 m → N  7.689217°
E 15.314941°		 →
↑
1 210.68 m
↓
↑
1 210.68 m
↓
N  7.678329°
E 15.303955°		 ← 1 210.69 m →
1 465 736 m²		 N  7.678329°
E 15.314941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542526245117188 y=0.478591918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542526245117188 × 215)
    floor (0.542526245117188 × 32768)
    floor (17777.5)     		tx = 17777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478591918945312 × 215)
    floor (0.478591918945312 × 32768)
    floor (15682.5)     		ty = 15682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17777 / 15682 ti = "15/17777/15682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17777/15682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17777 ÷ 215
    17777 ÷ 32768     		x = 0.542510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15682 ÷ 215
    15682 ÷ 32768     		y = 0.47857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542510986328125 × 2 - 1) × π
    0.08502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26710440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47857666015625 × 2 - 1) × π
    0.0428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.134606814133118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26710440} λ = 0.26710440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134606814133118))-π/2
    2×atan(1.14408685712189)-π/2
    2×0.852499241285411-π/2
    1.70499848257082-1.57079632675     		φ = 0.13420216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26710440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.303955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13420216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.689217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17777 KachelY 15682 0.26710440 0.13420216 15.303955 7.689217
    Oben rechts KachelX + 1 17778 KachelY 15682 0.26729615 0.13420216 15.314941 7.689217
    Unten links KachelX 17777 KachelY + 1 15683 0.26710440 0.13401213 15.303955 7.678329
    Unten rechts KachelX + 1 17778 KachelY + 1 15683 0.26729615 0.13401213 15.314941 7.678329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13420216-0.13401213) × R
    0.00019002999999998 × 6371000     		dl = 1210.68112999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13420216-0.13401213) × R
    0.00019002999999998 × 6371000     		dr = 1210.68112999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26710440-0.26729615) × cos(0.13420216) × R
    0.000191749999999991 × 0.991008397348446 × 6371000     		do = 1210.6547552804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26710440-0.26729615) × cos(0.13401213) × R
    0.000191749999999991 × 0.991033805409565 × 6371000     		du = 1210.68579476513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13420216)-sin(0.13401213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991008397348446-0.991033805409565)×R²
    abs(0.26729615-0.26710440)×2.54080611188368e-05×R²
    0.000191749999999991×2.54080611188368e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.54080611188368e-05×40589641000000     		ar = 1465735.66103252m²