Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17776 / 14448
↖ ↑ ↗
← N 80.126103°
W131.176758°		 ← 52.37 m → N 80.126103°
W131.174011°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.125631°
W131.176758°		 ← 52.38 m →
2 746 m²		 N 80.125631°
W131.174011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135623931884766 y=0.110233306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135623931884766 × 217)
    floor (0.135623931884766 × 131072)
    floor (17776.5)     		tx = 17776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110233306884766 × 217)
    floor (0.110233306884766 × 131072)
    floor (14448.5)     		ty = 14448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17776 / 14448 ti = "17/17776/14448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17776/14448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17776 ÷ 217
    17776 ÷ 131072     		x = 0.1356201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14448 ÷ 217
    14448 ÷ 131072     		y = 0.1102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.28946633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1102294921875 × 2 - 1) × π
    0.779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44900032778943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28946633} λ = -2.28946633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44900032778943))-π/2
    2×atan(11.5767679594882)-π/2
    2×1.48463031593924-π/2
    2.96926063187848-1.57079632675     		φ = 1.39846431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28946633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.176758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39846431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.126103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17776 KachelY 14448 -2.28946633 1.39846431 -131.176758 80.126103
    Oben rechts KachelX + 1 17777 KachelY 14448 -2.28941839 1.39846431 -131.174011 80.126103
    Unten links KachelX 17776 KachelY + 1 14449 -2.28946633 1.39845608 -131.176758 80.125631
    Unten rechts KachelX + 1 17777 KachelY + 1 14449 -2.28941839 1.39845608 -131.174011 80.125631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39846431-1.39845608) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dl = 52.4333299996334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39846431-1.39845608) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dr = 52.4333299996334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28946633--2.28941839) × cos(1.39846431) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.171480287180818 × 6371000     		do = 52.3744936080647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28946633--2.28941839) × cos(1.39845608) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.171488395268557 × 6371000     		du = 52.3769700267624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39846431)-sin(1.39845608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171480287180818-0.171488395268557)×R²
    abs(-2.28941839--2.28946633)×8.10808773910043e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.10808773910043e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.10808773910043e-06×40589641000000     		ar = 2746.23403019244m²