Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17774 / 15666
↖ ↑ ↗
← N  7.863382°
E 15.270996°		 ← 1 210.15 m → N  7.863382°
E 15.281982°		 →
↑
1 210.11 m
↓
↑
1 210.11 m
↓
N  7.852499°
E 15.270996°		 ← 1 210.18 m →
1 464 434 m²		 N  7.852499°
E 15.281982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542434692382812 y=0.478103637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542434692382812 × 215)
    floor (0.542434692382812 × 32768)
    floor (17774.5)     		tx = 17774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478103637695312 × 215)
    floor (0.478103637695312 × 32768)
    floor (15666.5)     		ty = 15666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17774 / 15666 ti = "15/17774/15666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17774/15666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17774 ÷ 215
    17774 ÷ 32768     		x = 0.54241943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15666 ÷ 215
    15666 ÷ 32768     		y = 0.47808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54241943359375 × 2 - 1) × π
    0.0848388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26652916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47808837890625 × 2 - 1) × π
    0.0438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.137674775708801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26652916} λ = 0.26652916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137674775708801))-π/2
    2×atan(1.14760226144412)-π/2
    2×0.85401911481753-π/2
    1.70803822963506-1.57079632675     		φ = 0.13724190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26652916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.270996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13724190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.863382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17774 KachelY 15666 0.26652916 0.13724190 15.270996 7.863382
    Oben rechts KachelX + 1 17775 KachelY 15666 0.26672091 0.13724190 15.281982 7.863382
    Unten links KachelX 17774 KachelY + 1 15667 0.26652916 0.13705196 15.270996 7.852499
    Unten rechts KachelX + 1 17775 KachelY + 1 15667 0.26672091 0.13705196 15.281982 7.852499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13724190-0.13705196) × R
    0.00018994 × 6371000     		dl = 1210.10774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13724190-0.13705196) × R
    0.00018994 × 6371000     		dr = 1210.10774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26652916-0.26672091) × cos(0.13724190) × R
    0.000191749999999991 × 0.990597103247781 × 6371000     		do = 1210.15230226373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26652916-0.26672091) × cos(0.13705196) × R
    0.000191749999999991 × 0.990623071349745 × 6371000     		du = 1210.18402591634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13724190)-sin(0.13705196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990597103247781-0.990623071349745)×R²
    abs(0.26672091-0.26652916)×2.59681019642022e-05×R²
    0.000191749999999991×2.59681019642022e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.59681019642022e-05×40589641000000     		ar = 1464433.86646967m²