Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17773 / 24011
↖ ↑ ↗
← S 63.913228°
E 15.260010°		 ← 537.19 m → S 63.913228°
E 15.270996°		 →
↑
537.14 m
↓
↑
537.14 m
↓
S 63.918058°
E 15.260010°		 ← 537.10 m →
288 523 m²		 S 63.918058°
E 15.270996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542404174804688 y=0.732772827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542404174804688 × 215)
    floor (0.542404174804688 × 32768)
    floor (17773.5)     		tx = 17773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732772827148438 × 215)
    floor (0.732772827148438 × 32768)
    floor (24011.5)     		ty = 24011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17773 / 24011 ti = "15/17773/24011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17773/24011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17773 ÷ 215
    17773 ÷ 32768     		x = 0.542388916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24011 ÷ 215
    24011 ÷ 32768     		y = 0.732757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542388916015625 × 2 - 1) × π
    0.08477783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26633741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.46551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46245893360867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26633741} λ = 0.26633741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46245893360867))-π/2
    2×atan(0.231665922664982)-π/2
    2×0.22765003416045-π/2
    0.455300068320899-1.57079632675     		φ = -1.11549626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26633741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.260010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11549626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.913228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17773 KachelY 24011 0.26633741 -1.11549626 15.260010 -63.913228
    Oben rechts KachelX + 1 17774 KachelY 24011 0.26652916 -1.11549626 15.270996 -63.913228
    Unten links KachelX 17773 KachelY + 1 24012 0.26633741 -1.11558057 15.260010 -63.918058
    Unten rechts KachelX + 1 17774 KachelY + 1 24012 0.26652916 -1.11558057 15.270996 -63.918058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11549626--1.11558057) × R
    8.43100000000874e-05 × 6371000     		dl = 537.139010000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11549626--1.11558057) × R
    8.43100000000874e-05 × 6371000     		dr = 537.139010000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26633741-0.26652916) × cos(-1.11549626) × R
    0.000191749999999991 × 0.439731832324903 × 6371000     		do = 537.193665842494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26633741-0.26652916) × cos(-1.11558057) × R
    0.000191749999999991 × 0.439656109496066 × 6371000     		du = 537.101159862665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11549626)-sin(-1.11558057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439731832324903-0.439656109496066)×R²
    abs(0.26652916-0.26633741)×7.57228288373324e-05×R²
    0.000191749999999991×7.57228288373324e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.57228288373324e-05×40589641000000     		ar = 288522.829734338m²