Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17772 / 52188
↖ ↑ ↗
← S 72.335798°
W 82.375488°		 ← 185.34 m → S 72.335798°
W 82.369995°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
S 72.337465°
W 82.375488°		 ← 185.32 m →
34 347 m²		 S 72.337465°
W 82.369995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271186828613281 y=0.796333312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271186828613281 × 216)
    floor (0.271186828613281 × 65536)
    floor (17772.5)     		tx = 17772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796333312988281 × 216)
    floor (0.796333312988281 × 65536)
    floor (52188.5)     		ty = 52188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17772 / 52188 ti = "16/17772/52188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17772/52188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17772 ÷ 216
    17772 ÷ 65536     		x = 0.27117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52188 ÷ 216
    52188 ÷ 65536     		y = 0.79632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27117919921875 × 2 - 1) × π
    -0.4576416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43772349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.5926513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86186918124298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43772349} λ = -1.43772349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86186918124298))-π/2
    2×atan(0.155381921785424)-π/2
    2×0.154149239931009-π/2
    0.308298479862018-1.57079632675     		φ = -1.26249785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43772349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.375488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26249785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.335798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17772 KachelY 52188 -1.43772349 -1.26249785 -82.375488 -72.335798
    Oben rechts KachelX + 1 17773 KachelY 52188 -1.43762762 -1.26249785 -82.369995 -72.335798
    Unten links KachelX 17772 KachelY + 1 52189 -1.43772349 -1.26252694 -82.375488 -72.337465
    Unten rechts KachelX + 1 17773 KachelY + 1 52189 -1.43762762 -1.26252694 -82.369995 -72.337465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26249785--1.26252694) × R
    2.90900000001759e-05 × 6371000     		dl = 185.332390001121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26249785--1.26252694) × R
    2.90900000001759e-05 × 6371000     		dr = 185.332390001121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43772349--1.43762762) × cos(-1.26249785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303437777957274 × 6371000     		do = 185.336083732274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43772349--1.43762762) × cos(-1.26252694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303410059385869 × 6371000     		du = 185.319153567859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26249785)-sin(-1.26252694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303437777957274-0.303410059385869)×R²
    abs(-1.43762762--1.43772349)×2.77185714045447e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.77185714045447e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.77185714045447e-05×40589641000000     		ar = 34347.2104999235m²